Contrôle continu n° du premier semestre 1er S1

Il sera tenu compte, pour l'évaluation des copies, de la présentation ainsi que la clarté et de la rigueur des solutions proposées.

Les téléphones portables sont interdits.

Exercice 1

On considère la fonction définie par $f(x)=1+\sqrt{x+4E\left(\dfrac{x}{4}\right)}$

1. Montrer que $D_{f}=\mathbb{R}$

2. Montrer que $4$ est une période de la fonction $f$

Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}$ on a $1_leq f(x)< 3$

Exercice 2

Soit $f$ l'application définie par : $f\ :\ ]2\ ;\ +\infty[\mapsto \mathbb{R}\\ x\mapsto \dfrac{x^{2}}{1-x}$

1.Montrer que $f$ est injective

2. Montrer que $\left(\forall x\in]2\ ;\ +\infty[\right)\;,f(x)< -4$

3. Soit $g$ l'application définie par

$g\ :\ ]2\ ;\ +\infty[\mapsto ]-\infty\ ;\ -4[\\ x\mapsto \dfrac{x^{2}}{1-x}$

(a) Montrer que $g$ est bijective.

Déterminer $g^{-1}(x)$ pour tout $x\in]-\infty\ ;\ -4[$

(b) Soit $a\in]-\infty\ ;\ -4[$

Calculer en fonction de $a\ :\ \dfrac{\left(g^{-1}(a)\right)^{2}}{1-g^{-1}(a)}$

Exercice 3

Le plan est orienté dans le sens direct soient $ABC$ un triangle tels que $\left(\overbrace{\overrightarrow{AB}\;,\overrightarrow{AC}}\right)=\dfrac{\pi}{3}\left[2\pi\right]$ et $\left(\overbrace{\overrightarrow{BA}\;,\overrightarrow{BC}}\right)=-\dfrac{\pi}{4}\left[2\pi\right]$ et on désigne $C$ son cercle circonscrit

1. Montrer $\left(\overbrace{\overrightarrow{CA}\;,\overrightarrow{CB}}\right)=\dfrac{5\pi}{12}\left[2\pi\right]$

2. Déterminer puis construire $\Upsilon=\left\lbrace M\in\left(\mathcal{P}\right) \left(\overbrace{\overrightarrow{MC}\;,\overrightarrow{MB}}\right)=\dfrac{5\pi}{12}\left[2\pi\right] \right\rbrace$

3.a. Construire le point $E$ de $\Upsilon$ tel que le triangle $BCE$ soit isocèle en $C$

b. Montrer que $\left(\overbrace{\overrightarrow{BE}\;,\overrightarrow{BC}}\right)=\dfrac{5\pi}{12}[2\pi]$

c. En déduire que les droites $(BE)$ et $(AC)$ sont parallèles

4. La droite $(BE)$ recoupe le $C$ en $F$ montrer que le quadrilatère $ACEF$ est un parallélogramme

Exercice 4

On pose pour tout réel $x\ :\ A(x)=5\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)-8\sin^{3}(x)$

1.a. Calculer $\sin(3x)$ en fonction de $\sin(x)$

En déduire que : $A(x)==2\left(\sin(3x)+\sin\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$

b. Résoudre dans $[-\pi\ ;\ \pi]$ l'équation $A(x)=0$

2. Calculer $A\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$, puis en déduire la valeur de $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$

3.a. Montrer que $A(x)=4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$

b; Résoudre dans $\left]-\dfrac{\pi}{3}\ ;\ \dfrac{2\pi}{3}\right[$ l'équation $A(x)\leq 0$

Exercice 5

Soit $ABC$ un triangle isocèle et $I$ milieu de $[AB]$ tel que $AB=AC=5$ et $BC=6$

Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$

a. Construire le barycentre $G$ des points pondérés $(A\ ;\ 2)$, $(B\ ;\ 3)$ et $(C\ ;\ 3)$

b. Montrer que $(AG)$ est la médiatrice de $[BC]$

c. Calculer $AG$

3. Soit $(E)=\left\lbrace M\in\left(\mathcal{P}\right)2MA^{2}+3MB^{2}+3MC^{2}=150\right\rbrace$

a. Montrer que pour tout point $B$ du plan : $2MA^{2}+3MB^{2}+3MC^{2}=8MG^{2}+2GA^{2}+3GB^{2}+3GC^{2}$

b. En utilisant le théorème de la médiane calculer $GB^{2}+GC^{2}$

c. Déduire de $2\cdot (c)$ et $3\cdot (b)$ la nature $(E)$ puis construire.