Devoir de mathématique du 1er semestre - 1er S1

Exercice 1

Soit $P$ le polynôme de degré $3$ dont la somme des coefficients est $-24$ tel que divisé par $x^{2}+x+1$ donne $59x-47$ comme reste et est divisible par $x-5$ 

1.Expliquer pourquoi $P(x)=\left(x^{2}+x+1\right)(ax+b)+59x-47$ avec $a$ et $b$ deux réels 

2. Montrer que $P(x)=x^{3}-12x^{2}+47x-60$

3. En déduire la résolution de l'équation $\sqrt{x^{3}-8^{2}+15x+4}=2x-8$

Exercice 2

Soit $(E)\ :\ 4x^{2}-\left(12m-1\right)x+9m^{2}-5=0$

1. discuter suivant les valeurs $m$ l'existence et le signe des solutions de $(E)$

2. Étudier suivant les valeurs $m$ la position relative de $\dfrac{3}{2}m$ par rapport aux solution de $(E)$ si elles existent

3. En déduire la résolution de l'équation $\sqrt{x-4m}=2x-3\,m$

Exercice 3

Soient $f$, $g$ et $h$ trois applications définies par

$f\ :\  [0\ ;\ +\infty[\rightarrow]1\ ;\ 3]\\ x\rightarrow 1+\dfrac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}$

$g\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\ x\rightarrow x^{2}-2x+2$

$h\ :\ [0\ ;\ +\infty[\rightarrow]1\ ;\ 5]\\ x\rightarrow\dfrac{x^{2}+5}{x^{2}+1}$

Résoudre les équations $g(x)=0$ et $g(x)=2$ dans $\mathbb{R}$

2. $g$ est-elle surjective ? 

justifier. 

3. $g$ est-elle injective ? 

Justifier.

5. Définir la bijection réciproque $f^{-1}$ de $f$ 

6. Soit $k$ la restriction de $g$ définie $]1\ ;\ 3]\rightarrow]1\ ;\ 5]$

a. Montrer que $k$ est bijective.

b. Montrer que $h=kof$

7. Le plan est muni d'un repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ On donne la courbe représentative d'une fonction $\varphi$ définie sur $[-3\ ;\ 5]$

a. Déterminer les images directes par $\varphi$$ : $\varphi([-3\ ;\ 0])$ $\varphi([-1\ ;\ 5])$

b. Déterminer les images réciproques par $\varphi$ : $\varphi^{-1}([0\ ;\ 2])$ $\varphi^{-1}([-2\ ;\ 1])$

Exercice 4

Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque

$J$ est barycentre des points pondérés $(A\;,2)$ et $(C\;,-1)$

$k$ est un barycentre des points pondérés $(B\ ;\ 1)$ et $(D\ ;\ 2)$

1. Construire les points $J$ et $k$

2. placer le placer le points $E$ tel que $\overrightarrow{BE}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{BD}-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{BC}$

3. Montrer que $E=\bar{(B\;,2)\ ;\ (C\;,-1)\ ;\ (D\ ;\ 4)}$

4. Soit $F$ le point du plan barycentre de $\left\lbrace {(E\ ;\ 5)\;,(A\ ;\ 2)}\right\rbrace$

a. a. Montre que F est barycentre de $j$ et $k$ avec des coefficients à déterminer.

b. Placer facilement le point $F$ 

5. Exprimer pour tout point $M$ le vecteur $\overrightarrow{U}=-3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MD}$ en fonction de $\overrightarrow{AK}$

6. Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ tels que

a. $\left|\left| 2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+4\overrightarrow{MD} \right|\right|=7\left|\left||2\overrightarrow{MA}-MC\right|\right|$

b. $\left|\left|2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+4\overrightarrow{MD}\right|\right|=\left|\left|-3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MD}\right|\right|$