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Devoir de mathématique n°1 du premier semestre - 1er S1

1. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss les systèmes suivants :

a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+3y-2z&=&2\\ 2x-y+5z&=&15\\-3x+2y+z&=&-5 \end{array}\right.$

b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z+t&=&0\\ 2x-y-3z-t&=&19\\ x-y+z+2t&=&1\\ -3x+2y-2z-3t&=&0
\end{array}\right.$

2. Résoudre et discuter suivant les valeurs de $m$ par méthode de Cramer le système suivant

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} \left(\sqrt{2}-1\right)x-my&=&\sqrt{2}-1\\ x-\left(\sqrt{2}+1\right)y&=&m
\end{array}\right.$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations irrationnelles suivantes :

a. $\sqrt{2x+3}+\sqrt{5-2x}=\sqrt{4x+7}$ ;

b. $4x^{2}+8x+\dfrac{8}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}-37=0$

c. $\sqrt{x^{2}-mx+1}=x+3m\;,(m\in\mathbb{R})$ ;

d. $\sqrt{x^{2}+2x-3}\leq 2x+1$

e. $\sqrt{2x^{2}+5x-7}\geq x-1$

On donne $g_{m}(x)=(m-1)x^{2}-3(m-1)x+2m-\dfrac{9}{4}$ où $m$ est un réel.

1. Discuter suivants les valeurs de $m$ l'existence des solutions de l'équation $g_{m}(x)=0$

2.a. En déduire suivant les valeurs de $m$ le signe de $(m-1)g_{m}\left(\dfrac{3}{2}\right)$

b. En déduire la position de $\dfrac{3}{2}$ par rapport aux solutions de l'équation $g_{m}(x)=0$ lorsqu'elles existent

3. Résoudre l'inéquation $m\left(x^{2}-3x+2\right)\geq 0$ suivant les valeurs de $m$

4. En utilisant les résultats des questions précédentes, résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{m(x-1)(x-2)}=x-\dfrac{3}{2}$

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls et soit P le polynôme défini par :

1.Déterminer le reste de division euclidienne de $p(x)$ par $x(x+1)$

Dans toutes la suite on désigne par $A(x)$ un polynôme de $d^{\circ}\geq 1$

2. On pose $B(x)=\left[A(x)\right]^{2m}+\left[A(x)+1\right]^{n}-1$

a. Montrer que $B(x)$ est divisible $[A(x)]^{2}+A(x)$

b. Montrer que si $\alpha$ est racine de $A(x)$ alors $\alpha$ est aussi racine de $B(x)$

3. On pose $A(x)=x^{2}-3x+2$ ; $m=1$ et $n=2$

a. Écrire on produit de facteurs irréductibles de $B(x).$

b. Résoudre alors $B(x)\geq 0$

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