Devoir de mathématique n°1 du premier semestre 2nd L

Exercice 1

1. Calculer les nombres suivantes

$A=\dfrac{\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{3}}{\dfrac{11}{6}}$ et 

$B=\dfrac{\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{3}}{\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}}$

2. Soit $a=5\sqrt{48}-2\sqrt{75}+\sqrt{27}$,

$b=(2-\sqrt{5})^{2}$,

$c=\left(1+2\sqrt{2}\right)^{2}$ et 

$d=\left(3-\sqrt{6}\right)\left(3+\sqrt{6}\right)$

a. Écrire a sous la forme $q\sqrt{r}$ avec $q\in Z$ et $r\in N$

b. Calculer $b$, $c$ et $d$

2. rendre rationnel les expressions suivantes :

$\dfrac{3}{\sqrt{5'}}$

$\dfrac{3+\sqrt{3}}{1-\sqrt{2'}}$

3. Écrire les expressions ci-dessous sans le symbole de la valeur absolue :

$Y=\left|5-\sqrt{7}\right|$ et $Z=\sqrt{\left(-3+2\sqrt{3}\right)^{2}}$

Exercice 2

1. Rappeler les formules des identités remarquables suivantes :

$(a+b)^{3}=\ldots$

$(a-b)^{3}=\ldots$

$a^{3}-b^{3}=\ldots$

$a^{3}+b^{3}=\ldots$

2. Développer les expressions suivantes :

$A=(x+2)^{3}$

$B=(1-2x)^{3}$

3. Factoriser les expressions suivantes :

$C=X^{3}-8$

$D=64+27x^{3}$

Exercice 3

1. Compléter le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{inégalités }&\text{intervalles }\\ \hline x\geq&\\ \hline &x\in]-\infty\ ;\ -4[\\ \hline &x\in\left]\dfrac{5}{6}8 ;\ 2\right]\\ \hline -3\leq x\leq 7&\\ \hline \end{array}$

2. Soit $I=]-\infty\ ;\ 3]$, $J=[-1\ ;\ 6[$ et $K=4\ ;\ +\infty[$

a. Déterminer $I\cap J$, $I\cap K$ et $J\cap k$

b. Déterminer $I\cup J$, $I\cup K$ et $J\cup K$

Exercice 4

Résoudre dans $\mathbb{R}$, les équations et inéquations suivantes:

a. $|3x-2|=13$

b. $|x+5|=|2x-7|$

c. $\left|\dfrac{2}{3}+1\right|=0$

d. $|5x|=-9$

e. $|x-1|\geq 3$

f. $|4x-5|\leq 2$