Devoir de maths n°1 du premier semestre - 1er L - 2023-2024

Exercice 1

Répondre par vrai ou faux

1. Le couple $(-1\ ;\ 2)$ est une solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} -2x+3y&=&8\\
x-2y&=&5\\ \end{array}\right.$

2. Le triplet $(0\ ;\ 1\ ;\ -1)$ est une solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x+2y+2z&=&-1\\ -10x+y+2y&=&-1\\ 5x-3y-4z&=&1 \end{array}\right.$

3. La forme factorisée d'un trinôme $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dont le discriminant est strictement
positif est $f(x)=a\left(x+x_{1}\right)\left(x+x_{2}\right)$ avec $x_{1}$ et $x_{2}$les racines de $f(x)$

4. Le couple $(-1\ ;\ -2)$ est une solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+2y&\geq& 2\\ 2x-y&\leq& 4 \end{array}\right.$

Exercice 2

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquation suivantes

1. $-x^{2}+3x+4=0$ ; 

2. $2x^{2}+5x-7\leq 0$ ; 

3. $x^{2}+x-2>0$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&6\\
2x+y-z&=&3\\ -3x+2y+z&=&5 \end{array}\right.$

3. Résoudre graphiquement le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+2y&\geq&2\\ 2x-y&\leq&4 \end{array}\right.$

Exercice 3

Soit $P$ un polynôme $P(x)=x^{3}-x^{2}-4x+4$

1. Montrer que $2$ est une racine de $P(x)$

2. Déterminer le polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x-2)\times Q(x)$

3. Factoriser $Q(x)$ puis en déduire que $P(x)=(x-2)(x+2)(x-1)$

4. Résoudre dans $\mathbb{R}P(x)=0$ et $P(x)\leq 0$