Devoir n°1 du premier semestre 1er S1

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes

a. $\left|x^{2}+2x-3\right|\geq 2x-1$

b. $2x^{2}+x+2\sqrt{2x^{2}+x-3}=6$

c. $\sqrt{4x+9}\geq x+1$

d. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$

e. $\sqrt{4x^{2}-1}<-4x$

f. $\sqrt{6-x}<\sqrt{2x^{2}-x-3}$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ par la méthode du pivot de Gauss le système

1. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-2y+z&=&6\\ -2x+y-z&=&-6\\ 3x-y-2z&=&-2 \end{array}\right.$

puis en déduire les solutions du système 

2. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-2y+\left(2z+\sqrt{z}\right)&=&6\\ -2x+y-\left(2z+\sqrt{z}\right)&=&-6\\
3x-y-2\left(2z+\sqrt{z}\right)&=&2 \end{array}\right.$

Exercice 2

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes

1. Placer les points $H$ et $G$ tels que $\overrightarrow{AH}+-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ et

$\overrightarrow{BG}=-\dfrac{7}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$

On considère le repère $\left(A\;,\overrightarrow{AB}\;,\overrightarrow{AC}\right)$

a. Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $H$ et $G$ dans ce repère

b. Les points $A$, $G$ et $H$ sont-ils alignés ?

Justifier la réponse