Devoir n°2 de mathématique du 1er semestre 1er S1

Exercice 1

1. Soit le polynôme $P(x)=x^{3}+px^{2}+qx+r$ admettant trois racines $a$, $b$, et $c$ toutes différentes de $I$, où $p$ ; $r$ sont des réels.

Exprimer le réel $N=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-b}+\dfrac{1}{1-c}$ en fonction de $p$ ; $q$ et $r$

2. Soit $Q(x)$ un polynôme divisible par $(x+1)$ et par $(x-2)$ et dont le reste de la division euclidienne par $(x-1)$ est $-2$

Détermine $R(x)$ l reste de la division euclidienne de $Q(x)$ par $\left(x^{2}-1\right)(x-2)$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$

a. $x^{2}-x+\sqrt{x^{2}-x+3}=9$

b. $\sqrt{-2x^{2}+5x}< 2x+1$

Exercice 2

A. Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ tel que $AB=5$ et $BC=2$, $E$ un point de $[AB]$ tel que $AE=3$, $D$ le projeté orthogonal de $E$ sur $(AC)$ et $F=S_{B}(C)$

1. Calcule $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AC}$ puis déduis $AD$

2.a. Calcule $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BC}$ puis déduis que $\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AC}=21$

b. Déterminer alors la valeur de $\cos\overbrace{CAF}$

B. On pose $(\Delta)=\left\lbrace M\in P\text{ tel que }2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{CA} \right\rbrace$ et 

$(C)=\left\lbrace M\in P\text{ tel que }2\overrightarrow{MA}^{2}+3\overrightarrow{MB}^{2}+50\right\rbrace$

1. Vérifie que $E=\bar{(A\ ;\ 2)\ ;\ (B\ ;\ 3)}$

2. Montrer que $(\Delta)$ est une droite que l'on précisera

3.a. Montrer pour tout point $M\in P$ du plan, $2\overrightarrow{MA}^{2}+3\overrightarrow{MB}^{2}+3\overrightarrow{MB}^{2}=5\overrightarrow{ME}^{2}+30$

b. Déduis-en alors la nature $(C)$ et ses éléments caractéristiques

C. Soit $R\left(B\;,\dfrac{\overrightarrow{BA}}{5}\ ;\ \dfrac{\overrightarrow{BC}}{2}\right)$ un repère orthonormé du plan 

1. Détermine les coordonnées de $A$, $C$ et $E$ dans le repère $R$

2. Écris une équation cartésienne de chacun des ensembles $(\Delta)$ et $(C)$

3. On pose $\Gamma_{k}=\left\lbrace M\in P\text{ tel que }\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB=k}\right\rbrace$ et $I$ milieu de $[AB]$

Déterminer $k$ pour tout $\Gamma_{k}$ soit un cercle tangent à $(\Delta)$

$\left(\text{on suppose que }k\geq-\dfrac{25}{4}\right)$

Exercice 3

Soit $ABC$ un triangle isocèle et $I$ milieu de $[BC]$ avec $AB=AC=5\,cm$ et $BC=6\,cm$

1. Calcule $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$

2.a; Construis le barycentre $G$ des points pondérés $(A\;,2)$, $(B\;,3)$ et $(C\;,3)$

b. Montrer que $(AG)$

3. Soit $(E)=\left\lbrace M \in P\text{ tel que }2MA^{2}+3MB^{2}+3MC^{2}=150\right\rbrace$

a. Montrer que pour tout point $B$ du plan 

$MA^{2}+3MB^{2}+3MC^{2}=8MG^{2}+2GA^{2}+3GB^{2}+3GC^{2}$

b. En utilisant le théorème de la médiane, calcule $GB^{2}+GC^{2}$

e. Déduis de 

$2.c.$ et $3.b.$ la nature de $(E)$ puis construis $(E)$

Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle non isocèle $\left(D_{\alpha}\right)$ la bissectrice de l'angle $\overbrace{A}$, $\left(\Delta_{\alpha}\right)$ la bissectrice extérieure e de l'angle $\overbrace{A}$, $\left((\Delta_{\alpha}\bot (\Delta_{\alpha}\right)$

Soit $I_{\alpha}$ le point d'intersection des droites $\left(D_{\alpha})\text{ et }(BC)\right)$ et $J_{\alpha}$ le point d'intersection des droites $\left((\Delta_{\alpha})\text{ et }(BC)\right)$, $A'$ le point de la hauteur issue de $A$, $H_{b}$ et $H_{c}$ les projetés orthogonaux de $I_{\alpha}$ sur $(AC)$ et $(BC)$ respectivement

On pose $BC=a$, $AB=c$ et $AC=b=$

1. Fais une figure que tu compléteras

2. Exprime de deux manières différentes les aires des triangles $ABI_{\alpha}$ et $ACI_{\alpha}$

3.a. Montrer que $\dfrac{I_{a}B}{I_{a}C}=\dfrac{c}{b}$

b. Déduis-en que $I_{a}=\bar{(B\;,b)\ ;\ (C\;,c}$

c. Montre que $J_{a}=\bar{(B\;,b)\ ;\ (C\;,-c)}$

4. Soit $\left(\psi_{a}\right)=\bar{M\in P\text{ tel que }\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{c}{d}}$

a. Montre que $\left(\psi_{a}\right)$ est le cercle de diamètre $\left[I_{\alpha}J_{\alpha}\right]$ et passe par $A$

b. Soit $\Omega_{A}$ le centre du cercle $\psi_{a}$. Montre que $\Omega_{a}=\bar{\left(B\;,b^{2}\right)\ ;\ \left(C\;,c^{2}\right)}$

5. Soit $\left(\psi_{b}\right)$ le cercle de centre $\Omega_{b}$ défini par : $\left(\psi_{b}\right)=\left\lbrace M\in P\text{ tel que }\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{a}{c} \right\rbrace$ de centre $\Omega_{b}$ et $\left(\psi_{b}\right)$

le cercle de centre $\Omega_{c}$ défini par : $\left(\psi_{c}\right)=\left\lbrace M \in P\text{tel que }\dfrac{MC}{AM}=\dfrac{a}{c} \right\rbrace$ 

Pour tout point $M$ du plan on pose : $V\overrightarrow{(M)}=\left(b^{2}-c^{2}\right)\overrightarrow{M \Omega}_{a}+\left(c^{2}-a^{2}\right) \overrightarrow{M \Omega}_{b}+\left(a^{2}-b^{2}\right)\overrightarrow{M\Omega}_{c}$

a. Par analogie, écris $\Omega_{b}$ comme barycentre de $A$ et $C$ puis $\Omega_{c}$ comme barycentre de $A$ et $B$

b. Exprime $V\left(\overrightarrow{M}\right)$ à l'aide de $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{MB}$ et $\overrightarrow{MC}$ puis montre que $V\left(\overrightarrow{M}\right)$ est le vecteur nul

c. Déduis que $\Omega_{a}$, $\Omega_{b}$ et $\Omega_{c}$ sont alignés