Pré test Olympiades Maths 2023 Niveau 2nde-1ere Pré-test : niveau $2^{nd}- 1^{ère}$

Problème 1 :

Les nombres pointus !!!

On appelle nombre « pointu » un nombre entier naturel à trois chiffres distincts dont le plus grand chiffre est celui des dizaines.

Combien y a-t-il de nombres « pointus » non divisibles par $5$

Problème 2 :

Un losange dans un rectangle !!!

Dans la figure ci-contre, $ABCD$ est un rectangle et $AECF$ un losange.

Sachant que $AB=16$ et $AD=12$ , calcule $EF$

Problème 3 :

Une fonction étrange !!!

Soit $f$ la fonction qui à tout couple d'entiers naturels $(x\ ;\ y)$ associe l'entier naturel $f(x\ ;\ y)$ tel
que :

$f(0\ ;\ y)=y+1$ ;

$f(x\ ;\ 0)=f(x-1\ ;\ 1)$ et

$f(x+1)=f(x\ ;\ f(x+1\ ;\ y))$

Calcule $(2\ ;\ 1)$ et $f(2\ ;\ 2)$

Problème 4 :

Un produit pas comme les autres !!!

Détermine la valeur du produit :

$\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)\left(1-\dfrac{1}{5^{2}}\right)\ldots\left(1-\dfrac{1}{2023^{2}}\right)$