Pyramides et Cone

EXERCICE 1

EFGHIJLK est un parallélépipède rectangle tel que \(EF = 8 \text{ cm}\) ; \(EH = 6 \text{ cm}\) et \(HK = 4 \text{ cm}\).

1. Calcule le volume du parallélépipède.
2. Calcule EG.
3. Calcule l'aire du triangle EGH.
4. Calcule le volume de la pyramide de base EGH de sommet K.

(BFEM 19)

EXERCICE 2

SABCD est une pyramide régulière à base carrée de sommet S telle que l'aire de base est \(50 \text{ cm}^2\) et \(SA = 13 \text{ cm}\).

1. Calcule la valeur exacte de AB puis démontre que \(AC = 10 \text{ cm}\).
2. Soit H le centre de ABCD, démontre que \(SH = 12 \text{ cm}\).
3. Calcule le volume de la pyramide SABCD.
4. Montre que l'aire latérale S de la pyramide est égale à \(10\sqrt{313} \text{ cm}^2\). (BFEM blanc 2010)

EXERCICE 3

Un entrepreneur des travaux publics construit un monument qui a la forme d'une pyramide régulière SABCD à base carrée représentée ci-contre. On donne \(AB = 60 \text{ m}\), \(SI = 40 \text{ m}\) et \(OB = 30\sqrt{2} \text{ m}\).

1. Donne la formule du volume d'une pyramide.
2. Recopie et complète la phrase : si SABCD est une pyramide de volume V, SA'B'C'D' la pyramide réduite de volume V' et k le coefficient de réduction alors \(V' = \dots\)
3. Montre que \(SB = 50 \text{ m}\) et \(SO = 10\sqrt{7} \text{ m}\).
4. On sectionne cette pyramide par un plan parallèle à sa base tel que \(SB' = 30 \text{ m}\). Détermine le coefficient de réduction.
5. Calcule le volume de la pyramide réduite SA'B'C'D'.
6. Calcule l'aire du triangle SB'C' sachant que celle de SBC est \(1200 \text{ m}^2\).

(BFEM blanc 2016)

EXERCICE 4

ABCD est un tétraèdre tel que la base ABC est rectangle en A et de hauteur [AD]. On suppose \(AB = 6 \text{ cm}\), \(AC = 8 \text{ cm}\) et \(AD = 8 \text{ cm}\).

1. Montre que la face BCD est isocèle en B.
2. Calcule le volume de ce tétraèdre.
3. Un récipient ayant la forme et les dimensions de ce tétraèdre est rempli à mi-hauteur d'un liquide. Calcule le volume de ce liquide.

(BFEM 2ème groupe 2008)

EXERCICE 5

On considère une pyramide régulière SABCD, de base le carré ABCD de côté \(a\) (\(a \in \mathbb{R}^+\)) de sommet S.

1. Exprimer AC en fonction de a.
2. On donne \(AC = 6\sqrt{2}\). En déduire a.

Pour la suite de l'exercice, on prendra \(a = 6\)

3. On donne \(AS = 5 \text{ cm}\). Construire un patron de cette pyramide en vraie grandeur.
4. Tracer l'apothème [SI] de la face SAB puis calculer SI.
5. Calculer l'aire latérale A1, puis l'aire totale A de cette pyramide.
6. Un plan parallèle à la base coupe [SA], [SB], [SC] et [SD] respectivement en E, F, G et H tel que \(SE = 1,25 \text{ cm}\).
   a) Calculer le coefficient de réduction k.
   b) En déduire l'aire latérale A2 de la pyramide SEFGH, puis l'aire latérale A3 du tronc de la pyramide.

EXERCICE 6

I/ ABCD est un trapèze rectangle de bases [AB] et [DC] tels que \(AB = 6 \text{ cm}\), \(DC = 4 \text{ cm}\) et \(AD = 3 \text{ cm}\). Calcule l'aire de ce trapèze.

II/ une pyramide de sommet S et de base le trapèze ABCD a pour hauteur \(SA = 8 \text{ cm}\).

1. Faire une figure soignée.
2. Préciser la nature du triangle SAB et calculer SB.
3. Calcule le sinus de l'angle ABS.

III/ un plan P sectionne la pyramide SABCD parallèlement à sa base ABCD à \(\frac{1}{3}\) de sa hauteur [SA] à partir de A et coupe respectivement les arêtes [SA], [SB], [SC] et [SD] en I, J, K et L.

1. Compléter votre figure et préciser la nature de la section IJKL.
2. Montrer que \(\frac{SI}{SA} = \frac{2}{3}\) et en déduire IJ.
3. Calculer le volume de la pyramide SABCD. En déduire le volume de la pyramide SIJKL.

(BFEM 1998)

EXERCICE 7

La figure ci-contre n'est pas à refaire sur la copie. Pour abriter un spectacle, une entreprise a installé, dans un quartier, une tente dont la forme est un cône de révolution représentée par le schéma ci-contre. Le rayon du cercle de base mesure 10 m. Le mât vertical [SH] mesure 15 m.

1. Calcule le volume exact de la tente.
2. Calcule la longueur exacte SG.
3. Pour accrocher des affiches, ils ont tendu deux câbles, l'un du point M au point N et l'autre du point I au point J ; M et I sont des points de [SG] ; N et J sont des points de [SH] comme l'indique le schéma. On donne : \(SM = 8 \text{ m}\) ; \(SN = 7 \text{ m}\) ; \(SI = 12 \text{ m}\) ; \(SJ = 10,5 \text{ m}\). Montre que les supports des câbles sont parallèles.
4. Le câble [MN] mesure 3 m. Calcule la longueur du câble [IJ] au centimètre près.

(BFEM blanc 2011)

EXERCICE 8

Un flacon de parfum rempli au \(\frac{3}{4}\) a la forme d'un cône de révolution dont le rayon du disque de base est 4 cm et la hauteur 10 cm. Le flacon de parfum coûte 13 800 F.

1. Calcule le volume de parfum dans le flacon.
2. Sachant que l'emballage coûte 1000 F, combien coûte \(1 \text{ cm}^3\) de ce parfum ? (On prendra \(\pi = 3\))

(BFEM 2007)

EXERCICE 9

Le chapeau d'un berger a la forme d'un cône de révolution de sommet S. On donne \(IH = 10 \text{ cm}\) ; \(SH = 10 \text{ cm}\) ; H est le centre du disque de base.

1. Calcule le volume de ce cône.
2. Le berger recouvre son chapeau extérieurement d'un papier de décoration vendu par feuille carrée de 10 cm de côté et à 1000 F la feuille. Calcule la dépense minimale.

(BFEM 2005)

EXERCICE 10

Soit un cône de révolution de sommet S dont la base est un cercle (C) de centre O et de rayon \(R = a\) et de hauteur \(SO = 3a\).

1. Calculer en fonction de \(a\) le volume de ce cône.
2. Calculer en fonction de \(a\) l'aire latérale de ce cône.

Un carré ABCD est inscrit dans le cercle (C) de base de ce cône.

3. Calculer en fonction de \(a\) le volume de la pyramide régulière de base ABCD et de sommet S.
4. Calculer en fonction de \(a\) l'aire totale de la pyramide régulière SABCD.

EXERCICE 11

La figure ci-contre représente le patron de la partie latérale d'un cône de révolution.

1. Montre que le rayon de sa base est 4cm et que sa hauteur \(h = 2\sqrt{5} \text{ cm}\).
2. Calcule son volume.

(BFEM 2004)

EXERCICE 12

Le schéma ci-contre représente le patron d'un cône de révolution de sommet S et de rayon r. la génératrice [SA] a pour longueur 36 cm.

1. Justifie que la circonférence de sa base mesure \(54\pi \text{ cm}\).
2. Montre que son rayon de base r vaut 27 cm.
3. Justifie que la hauteur de ce cône est égale à \(9\sqrt{7} \text{ cm}\).
4. Calcule l'aire de la surface totale de ce cône. On prendra \(\pi = 3,14\).

(BFEM 2010)

EXERCICE 13

Pour conserver les \(150 \text{ cm}^3\) de mil récolté, une coopérative de cultivateurs a construit un grenier ayant la forme d'un cylindre surmonté d'un cône de révolution. Voir la figure ci-contre. On donne : \(SA = 5 \text{ m}\) ; \(BC = 2 \text{ m}\) et \(DO = 4 \text{ m}\).

1. Calcule le volume du cylindre.
2. Calcule la hauteur du cône.
3. Calcule le volume du cône.
4. Le grenier peut-il contenir toute la récolte ?
5. Représente le patron du cône à l'échelle \(\frac{1}{100}\).

(BFEM blanc 2005)

EXERCICE 14

1. Le schéma ci-contre représente un cône de révolution de sommet S. La génératrice [SA] a pour longueur 10 cm et fait un angle de 30° avec la hauteur [SO] du cône.
   
   1. Justifie que \(SO = 5\sqrt{3} \text{ cm}\).
   2. Justifie que le rayon r du disque de base est 5 cm.
   3. Calcule l'aire latérale du cône.
   4. Calcule le volume de ce cône.
2. On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base. La section a un rayon de 3,75 cm.
   
   1. Montre que le coefficient de réduction est \(k = \frac{3}{4}\).
   2. Calcule le volume du cône réduit.

(BFEM 2012)

EXERCICE 15

On considère le cône de révolution ci-contre dont la base est un disque de rayon \(OA = 6 \text{ cm}\) et de hauteur \(SO = 8 \text{ cm}\). On donne \(SO' = 6 \text{ cm}\).

1. 1. Précise la nature du triangle SAO et calcule SA.
   2. Calcule le sinus de l'angle OAS.
2. 1. Calcule le volume Vc de ce cône.
   2. Calcule l'aire latérale A₁ de ce cône.
3. On sectionne ce cône par un plan parallèle à sa base passant par O'.
   
   1. Calculer le coefficient de réduction k.
   2. Calcule le volume Vr du cône réduit.

EXERCICE 16

Un réservoir à la forme conique comme l'indique la figure ci-contre : On donne \(OS = 18 \text{ cm}\) et son volume \(V = 678,24 \text{ cm}^3\) ; \(\pi = 3,14\).

1. Calcule ON et SN.
2. On remplit de liquide le réservoir jusqu'au point O' tel que \(OO' = 4,5 \text{ cm}\).
3. Montre que le coefficient de réduction \(k = \frac{3}{4}\).
4. Calcule le volume du liquide.
5. Calcule l'aire de base du petit cône contenant le liquide.

EXERCICE 17

On se propose de calculer le volume d'un seau qui a la forme d'un tronc de cône de révolution (voir schéma). On donne \(OS = 2\sqrt{13}\) ; \(AO = 2a\) ; a étant un nombre réel positif, et O' milieu de [OS].

1. Calcule O'A' en fonction de a.
2. On prend \(a = \sqrt{3}\) pour la suite et pour unité le décimètre.
   
   1. Calcule le volume du cône initial.
   2. Calcule le volume du cône réduit et en déduire celui du seau.
3. On donne \(\pi = 3,14\) et \(\sqrt{13} = 3,6\). Précise à \(10^{-2}\) près la valeur du volume du seau.

(BFEM 2000)

EXERCICE 18

Un artisan de la Médina veut confectionner un abat-jour représenté en perspective cavalière par la figure ci-contre. Pour cela, il désire connaître l'aire de la surface hachurée de l'abat-jour. On donne : \(h_1 = 14 \text{ cm}\) ; \(h_2 = 16 \text{ cm}\) ; \(BD = 24 \text{ cm}\).

1. Montre que \(SB = 20 \text{ cm}\).
2. Calcule l'aire latérale A₁ du cône de rayon de base R.
3. Montre que \(r = 1,5 \text{ cm}\) et \(SA = 2,5 \text{ cm}\).
4. Calcule l'aire latérale A₂ du cône de rayon de base r. Déduis-en l'aire A de la surface hachurée de l'abat-jour. (Tu prendras \(\pi = 3,14\))

(BFEM blanc 2005)

EXERCICE 19

Un entrepreneur des travaux publics doit aménager le long des allées d'une avenue des bancs en béton. Il hésite entre deux modèles :

• le modèle 1 a la forme d'un tronc de cône de révolution dont les bases parallèles ont respectivement 20 cm et 10 cm de rayon.
• le modèle 2 a la forme d'un tronc de pyramide dont les bases parallèles sont des carrés de côtés respectifs 40 cm et 20 cm.

Les deux modèles ont une hauteur de 50 cm.

1. Représente chaque modèle.
2. Sachant que le modèle le moins volumineux est le plus économique pour l'entrepreneur, aidez-le à faire le bon choix.

(BFEM 2003)

EXERCICE 20

SABCD est une pyramide régulière dont la base est un carré de 240 cm de côté.

1. On coupe cette pyramide par un plan parallèlement à sa base. Le tronc de pyramide obtenu est un récipient de 30cm de profondeur et dont l'ouverture est un carré de 80 cm de coté.
   
   1. Montre que la hauteur de la pyramide initiale SABCD est de 45 cm et que celle de la pyramide réduite est 15 cm.
   2. Calcule le volume de ce récipient.
2. Les faces latérales de ce récipient sont des trapèzes de même dimensions.
   
   1. Montre que la hauteur de ces trapèzes est \(10\sqrt{73}\) cm.
   2. Calcule l'aire latérale de ce récipient.

(BFEM 2009)