Exercice N°1

I. Réponds par vrai ou faux à chacune des affirmations suivantes.

1. FEG est un triangle, $M \in [FE]$ et$ N\in [FG]$ tel que $(MN)//(EG)$, d’après la réciproque du théorème de Thalès $\dfrac{FM}{FE} = \dfrac{FN}{FG}$.

2. Si MAN est un triangle, $M, I, A$ d’une part et $M, J, N$ d’autre part sont alignés dans le même ordre et $\dfrac{MI}{MA} = \dfrac{MN}{MJ}$ alors $(IJ)//(AN)$.

3. Si $ABC$ est un triangle,$ K\in [BC]$ et la parallèle à $(AB)$ passant par $K$ coupe $[AC]$ en J alors $CKJ$ et$ CBA$ sont des triangles en position de Thalès.

4. Si deux triangles sont en position de Thalès alors les supports de deux de leurs côtés sont parallèles.

II. Recopie et remplace les pointillés par le mot ou groupe de mots qui convient :

a) Si $ABC$ est un triangle, $M \in [AB]$ et$ N \in [AC], (MN) // (BC)$ alors … … … ..

b) Si $MEN$ est un triangle ; $M, A, E$ et $M, B, N$ sont alignés dans le même ordre et $\dfrac{MA}{ME} = \dfrac{MB}{MN}$ alors $(AB)……….. (EN)$

Exercice N°2

Soit la figure ci-dessous:

Les droites $(RT)$ et $(AN)$ sont parallèles.

Calculer $IA$

Exercice N°3

Considérons la figure ci-dessous dans laquelle les points $E, A$ et $C$
sont alignés ; les points $F, A$ et $F$ sont alignés ; $AF = 12cm ;
AC = 5cm ; AB = 7,5cm$ et $AE = 8cm$.

Montrer que les droites $(BC)$ et $(FE)$ sont parallèles.

NB : La figure n’est pas à dimension réelle et n’est pas à reprendre.

Exercice N°4

$EFG$ est triangle tel que $EG = 4,5cm; EG = 3,6cm$ ; et $FG = 6cm. D$ est un point du segment $EG$ tel que $DE= 2,4cm$ et le point $K$, l’intersection de la droite $EF$ et la parallèle à la droite $FG$ passant par le point $D$.

1- Faire la figure

2- Calculer les distances $EK$ et $DK$.

Exercice N°5

1. Construis $ABC$ rectangle en A tel que $AB=8cm$ et $AC=6cm$.

2. Calculer $BC$

3. Placer un point $M$ tel que $AM = 1$

3 AB. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $N$.

4. Comparer les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$.

5. En déduire que $AN = \dfrac{1}{3} AC$.

Exercice N°6

Soit $ABC$ un triangle telque $AB = 5cm, AC = 6cm$ et $BC = 8cm$.

1. Soit $M$ un point du segment $[AB]$ telque $AM = 2cm$, la parallèle à $(BC)$ passant par$M$ coupe $(AC)$ en $N$.

Calculer $AN$ et $MN$.

2. Soit $E$ un point de la demi-droite $[AB)$ telque $AE = 12,5cm$. 

Montrer que $(BN)$ est parallèle à $(CE)$.

3. Soit $I$ le milieu du segment$ [BC]$, la parallèle à $(AI)$ passant par $M$ coupe $(BC)$ en $H$ et$(AC)$ en $K$.

a) Comparer $\dfrac{BH}{BI}$ et $\dfrac{ MH}{AI}$ puis $\dfrac{CH}{CI}$ et $\dfrac{HK}{AI}$ .

b) Montrer que $MH + HK = 2AI$.

Exercice N°7

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ telque $AB = 9cm$.

1. a) Construire le point $I$ de $[AB]$ telque $AI = \dfrac{1}{3} AB$ et le point $J$ de $[AC]$ telque $CJ = \dfrac{2}{3} AC$

c) Evaluer $\dfrac{AI}{AB}$ et $\dfrac{AJ}{AC}$ .

d) Déduire que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles.

e) Calculer$ BC$ puis $IJ$.

3. Les droites $(IC)$ et $(BJ)$ se coupent en un point $O$. 

Montrer que $OB = 3OJ$ puis Calculer $OB$.

Exercice N°8 extrait BFEM $2^{nd}$ Tour 2023

On considère un triangle GQH rectangle en$G$ Tel que $HG=6cm$ et $tan \overbrace{QHG} =\dfrac{4}{3}$ .

1) On pose $\tan\overbrace{QHG} = \dfrac{QG}{HG}$ , montre que $QG=8cm$ et $QH=10cm$.

2) Soit $E$ un point du segment $[QH]$ tel que $\dfrac{QE}{QH} = \dfrac{3}{5}$.

La parallèle à la droite $(GH)$ passant par $E$ coupe le segment $[QG]$ en $F$. 

Calcule $QF$.

3) On considère les points $A$ et$ B$ tels que : $A \in [FG]$ et$ FA=1,6cm ; B \in [EH] $et $EB=2cm$. 

Montre que les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont parallèles.

4) Les droites $(FH)$ et $(EG)$ sont sécantes au point $R$. 

Montre que $\dfrac{RE}{RQ} = \dfrac{3}{5}$.

Exercice N°9

Dans le plan, on considère un triangle $ABC$ rectangle en $B$ tel que : $AB = 2cm$ et $BC=1cm$.

1. Faire une figure complète puis calculer $AC$.

2. On considère le point $D$, tel que : $B$ soit un point du segment $[AD]$ et $AD= 8 cm$.

3. a) Soit $E$ le point de la droite $(AC)$ dont la projection orthogonale sur $(AB)$ est le point $D$.

b) Montrer que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

c) Calculer les distances $AE$ et $DE$.

d) Calculer l’aire de $ABC$ et le coefficient $K$ de réduction des longueurs.

En déduire l’aire de $ADE$.

Exercice N°10

1) Tracer un triangle $ABC$ tel que $AB=4cm ; AC=5cm$ et $BC=6cm$

2) Soit $M$ un point de $[BC]$ tel que $\dfrac{BM}{BC} =\dfrac{2}{3}$

Calculer $BM$ et marquer le point $M$ sur la figure

3) la parallèle à $(AC)$ passant par $M$ coupe $(AB)$ en $N$. 

Calculer $BN$ et $NM$.

4) Soit $A’$ (distinct de $B$) un point de la parallèle à $(AC)$ passant par $B$.

On appelle respectivement $M’$et $N’$ les points d’intersection de $(AA’)$ et $(A’C)$ avec la droite $(MN)$.

a) Calculer $\dfrac{AM′}{AA′}$ puis $\dfrac{A′M′}{AA′}$

b) Calculer la distance$ M’N’$.

Exercice N°11

Construire le rectangle $ABCD$ tel que : $AB = 8cm$ et $AD = 6cm$. 

On désigne par $M$ un point de $[AB]$ tel que $AM = x$.

Par $M$, on trace la parallèle à $(AC)$ qui coupe $(BC)$ en $N$ et la parallèle à $(BD)$ qui coupe $(AD)$ en $P$.

1) Calculer $AC$ puis exprimer $MN$ et $MP$ en fonction de $x$.

2) Montrer que $MN + MP$ est indépendant de $x$.

3) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $MN = MP$.

Exercice N°12

1) Sur une droite $(xy)$, marquer les points $A, B, C$ tels que : $AB = 4cm ; BC = 3cm $et $B \in [AC]$

2) Partager $[AB]$ en cinq parties égales. 

Sur $[AB]$ marquer le point $I$ tel que $AI = \dfrac{3}{5} AB$

3) Partager $[BC]$ en $4$ parties de même longueur.

4) Sur$ [BC]$, marquer le point tel que : $BJ = \dfrac{1}{4} BC$. 

Quelle est la longueur du segment $[IJ]$.

5) Soit D un point du plan tel que $ACD$ soit un triangle isocèle en $A, B’\in[AD]$ et $(BB’)//(DC)$.

Calculer l’aire du triangle $ABB’$ sachant que l’aire de $ACD$ est : $6\sqrt{5}cm^{2}$.

Exercice N°13

1. a) Construire un triangle $ABC$ tel que : $AB = 6 cm ; BC = 8 cm ; AC = 10 cm$.

b) Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifier.

2) Sur le segment $[BC]$, on place le point $I$ tel que :$ CI =\dfrac{1}{4} CB$.

La parallèle à $(AB)$ passant par $I$ coupe $(AC)$ en $J$. 

Compléter la figure tracée en 1.a).

Calculer $CJ$ et $IJ$.

3) Sur le segment$ [CB]$, on considère maintenant le point $M$ tel que $CM = x$.

La parallèle à $(AB)$ passant par M coupe $(AC)$ en $K$.

a) Calculer $MK$ en fonction de $x$.

b) Montrer que l’aire $CMK$ est égale $\dfrac{3x^{2}}{8}$

c) Trouver la valeur de $x$ pour que l’aire du triangle $CMK$ soit la moitié de celle du triangle$ ABC$.

Exercice N°14

Alassane veut mesurer un jeune chêne avec une croix de bûcheron comme le montre le schéma ci-dessous.

Il place la croix de sorte que $O, D$ et $A$ d’une part et $O, E$ et $B$ d’autre part soient alignés. 

Il sait que $DE = 20 cm$ et $OF = 35 cm$. 

Il place $[DE]$ verticalement et $[OF]$ horizontalement. 

Il mesure au sol $BC = 7,7 m$.

1) Le triangle $ABO$ et un agrandissement du triangle $ODE$. 

Justifier que le coefficient d’agrandissement est

2) Calculer la hauteur de l’arbre en mètres.

3) Certaines croix de bûcheron sont telles que $DE = OF$. 

Quel avantage apporte ce type de croix ?

4) Alassane enroule une corde autour du tronc de l’arbre à $1,5 m$ du sol. 

Il mesure ainsi une circonférence de $138 cm$. 

Quel est le diamètre de cet arbre à cette hauteur ?

 Donner un arrondi au centimètre près.

 

EXERCICE 15

ABC est un triangle rectangle en A tel que $AB = 6\,\text{cm}$ et $AC = 8\,\text{cm}$.

1. Construire ce triangle puis calculer BC.
2. E est le point de la demi-droite d'origine A ne contenant pas le point B tel que $AE = 2,5\,\text{cm}$. Placer E. Par E, on mène la parallèle à (BC) ; elle coupe (AC) en F. Calculer EF.

EXERCICE 16

1. Construis un triangle ABC tel que $AB = 5\,\text{cm}$ ; $AC = 3\,\text{cm}$ et $BC = 4\,\text{cm}$.
2. Démontre que le triangle ABC est rectangle en un point que l'on précisera.
3. Les points C, A, I et B, A, J sont alignés dans cet ordre et $I \notin [AC]$.
   
   1. Marque les points I et J tels que $AI = 1,5\,\text{cm}$ et $AJ = 2,5\,\text{cm}$.
   2. Démontre que $(BC) \parallel (IJ)$.
   3. Calcule IJ.

EXERCICE 17

$(\mathcal{C})$ est un cercle de centre O et de rayon $3\,\text{cm}$. [TG] est un diamètre de $(\mathcal{C})$ et A un point de $(\mathcal{C})$ tel que $GA = 3\,\text{cm}$.

1. Démontrer que le triangle TAG est rectangle.
2. Montrer que $TA = 3\sqrt{3}\,\text{cm}$.
3. Soit I le milieu de [OG]. La parallèle à (OA) passant par I coupe (TA) en R. Calculer la valeur exacte de TR.

EXERCICE 18

Soient F, A et B trois points alignés dans cet ordre sur une droite (D) tels que $FA = 4\,\text{cm}$ et $AB = 6\,\text{cm}$. $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ sont deux cercles de diamètres respectifs AB et AF. Place un point C sur le cercle $(\mathcal{C})$ tel que $BC = 3\,\text{cm}$.

1. Donner en justifiant la nature du triangle ABC.
2. Calcule la valeur exacte de AC.
3. La droite (AC) coupe le cercle $(\mathcal{C}')$ en E.
4. 1. Donne en justifiant la nature du triangle AEF puis démontre que $(BC) \parallel (EF)$.
   2. Calcule les valeurs exactes de AE et EF.

EXERCICE 19

EFG est un triangle tel que $EF = 5,4\,\text{cm}$, $EG = 9\,\text{cm}$ et $FG = 7,2\,\text{cm}$.

1. Démontre que le triangle EFG est rectangle.
2. Construis la figure que tu compléteras.
3. I est le point de la droite (EG) n'appartenant pas au segment [EG] tel que $GI = 3\,\text{cm}$. La parallèle à la droite (EF) passant par I coupe la droite (FG) en J. Calcule les valeurs exactes de GJ et IJ. (BFEM blanc 2009)

EXERCICE 20

ABD est un triangle rectangle en D tel que $DA = 12\,\text{cm}$ et $DB = 16\,\text{cm}$.

1. Construire le triangle ABD à l'échelle $\frac{1}{2}$.
2. Calculer AB.
3. Placer le point C du segment [AB] tel que $BC = 8\,\text{cm}$. Tracer le cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre [BC]. Le cercle $(\mathcal{C})$ recoupe la droite (BD) en E.
4. Démontrer que le triangle BEC est rectangle en E. En déduire que les droites (AD) et (CE) sont parallèles.
5. Calculer EC et BE.
6. On note M le milieu de [AB] et H le point d'intersection des droites (EC) et (DM). Calculer les distances MC et CH.

EXERCICE 21

OBC est un triangle isocèle en B tel que $OB = 5\,\text{cm}$ et $OC = 6\,\text{cm}$. A est point du segment [OB] tel que $OA = 2\,\text{cm}$. La parallèle à la droite (BC) passant par A coupe le segment [OC] en un point E. D est le point de la droite (AE) n'appartenant pas à la demi-droite [EA) tel que $ED = 3\,\text{cm}$.

1. Fais une figure.
2. Montre que $OE = \frac{12}{5}\,\text{cm}$.
3. Montre que les droites (OB) et (DC) sont parallèles. (BFEM blanc 2009)

EXERCICE 22

Soit ABC un triangle isocèle en C tel que $AC = 5\,\text{cm}$ et $AB = 4\,\text{cm}$. Soit E le point de [AC] tel que $CE = 2\,\text{cm}$. La parallèle à (AB) passant par E coupe (BC) en F.

1. Calculer FC.
2. Construire le point G tel que ABFG soit un parallélogramme. Calculer EG.
3. Soit H le point de [AG) tel que $AH = 5\,\text{cm}$. Montrer que les droites (AB) et (CH) sont parallèles.

EXERCICE 23

Sur la figure ci-contre $(MI) \parallel (BJ)$ et $(MJ) \parallel (BK)$. Les dimensions ne sont pas en vrai grandeur. $AJ = 3\,\text{cm}$ ; $MI = 2,4\,\text{cm}$ ; $JK = 4,5\,\text{cm}$.

1. 1. Montre que $\frac{AM}{AB} = \frac{AI}{AJ} = \frac{MI}{BJ}$ et $\frac{AI}{AK} = \frac{AJ}{AB}$.
   2. Déduis-en que $AI = \frac{AJ^2}{AK}$.
2. Calcule BJ.

EXERCICE 24

On considère la figure ci-dessous pour laquelle $AF = 12$ ; $AC = 4,5$ ; $AB = 7,5$ et $AE = 7,2$.

1. Démontre que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
2. Déduis-en la longueur EF sachant que $BC = 6$.
3. Démontre que le triangle ABC est rectangle.
4. Déduis-en la nature du triangle AEF.
5. Calcule le périmètre $\mathcal{P}_1$ et l'aire $\mathcal{A}_1$ du triangle ABC.
6. Déduis-en le périmètre $\mathcal{P}_2$ et l'aire $\mathcal{A}_2$ du triangle AEF.

EXERCICE 25

Soit un triangle ABC rectangle en C tel que $AB = 10\,\text{cm}$ et $AC = 6\,\text{cm}$.

1. Calcule BC.
2. La perpendiculaire à (AB) passant par C coupe (AB) en I. Calcule CI et BI.
3. La parallèle à (AC) passant par I coupe (BC) en M. Calcule BM.
4. Sur le segment [BC], on considère un point N tel que $BN = x$. La parallèle à (AC) passant par N coupe (AB) en K.
   
   1. Montre que $NK = \frac{3}{4}x$.
   2. Calcule l'aire du triangle BNK en fonction de $x$.
   3. Si $x = 4\sqrt{2}$, compare les aires des triangles ABC et BNK.

EXERCICE 26

ABC est un triangle isocèle en A. La hauteur issue de A coupe le segment [BC] en H. On donne $BC = 6\,\text{cm}$ et $AH = 4\,\text{cm}$. Soit M un point du segment [BH]. On pose $BM = x$ avec $x$ un réel positif. La parallèle à la droite (AH) passant par M coupe la droite (AB) en P et la droite (AC) en Q.

1. Calcule BH et donne un encadrement de $x$.
2. Montre que $\frac{MP}{AH} = \frac{BM}{BH}$ puis déduis-en MP en fonction de $x$.
3. Exprime MC en fonction de $x$ puis montre que $MQ = \frac{4}{3}(6-x)$.
4. Par quelle valeur de $x$ a-t-on $MQ = 3MP$ ? Quelle est la position du point P sur le segment [AB] ? Justifie.

EXERCICE 27

On considère un triangle ABC tel que $AB = 12\,\text{cm}$, $AC = 20\,\text{cm}$ et $BC = 16\,\text{cm}$. On fera la figure de cet exercice à l'échelle $\frac{1}{2}$.

1. Montre que ce triangle est rectangle en B puis calcule son aire.
2. Soit F le point du segment [BC] tel que $CF = 4\,\text{cm}$. La perpendiculaire à la droite (BC) passant par F coupe (AC) en E. Démontre que $EF = 3\,\text{cm}$ puis calcule l'aire du triangle BEC.
3. Pour la suite de l'exercice, le point F est quelconque sur le segment [BC] (F étant différent de B et C) et on pose $CF = x$, avec $x \in ]0; 16[$. On fera une nouvelle figure. Montre que $EF = \frac{3}{4}x$ puis que l'aire du triangle BEC est $6x$.
4. Exprime en fonction de $x$ l'aire du triangle BEA. Pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle BEA est-elle égale au double de l'aire du triangle BEC ?

EXERCICE 28

1. Construis un triangle ABC tel que $AB = 4\,\text{cm}$ ; $AC = 3\,\text{cm}$ et $BC = 5\,\text{cm}$. Démontre que le triangle ABC est rectangle.
2. Dans le demi-plan de frontière (BC) ne contenant pas le point A, construis le point D tel que BCD soit un triangle équilatéral. Soit I le projeté orthogonal du point D sur la droite (BC).
   
   1. Calcule DI.
   2. Calcule l'aire du triangle BCD.
3. Le cercle de diamètre [BC] coupe le segment [BD] en un point M. Démontre que M est le milieu du segment [BD].
4. Soit E le symétrique de I par rapport au point B et $(\Delta)$ la perpendiculaire à la droite (BC) passant par E. La droite (CM) coupe la droite (ID) en H et la droite $(\Delta)$ en F. Démontre que $CH = \frac{5\sqrt{3}}{3}\,\text{cm}$ puis calcule CF. (BFEM 2002)