Semestre 1 Épreuve harmonisée de mathématique - 4ème 2023/2024

Exercice 1

1. Recopie les phrases ci-dessous puis complète-les en utilisant les mots ou groupe de mots suivants :
divisant ; diviseurs communs ; valeur absolue ; inverse ; termes ; rationnels ;

NB : Chaque bonne réponse rapporte 

a. L'ensemble $Q$ est l'ensemble des nombres $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

b. On ne change pas la valeur d'un nombre rationnel en multipliant ou en $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
ses $\ldots\ldots\ldots\ldots$ par un même nombre non nul.

c. Pour simplifier un nombre rationnel $\dfrac{a}{b}$, on peut diviser son numérateur et son dénominateur par un de leurs $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

d. Diviser par un nombre rationnel non nul, c'est multiplier par son $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

d. Deux nombres rationnels opposés ont la même . $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

2. Complète les pointillés par le symbole qui convient : $=$ ; $<$ ou $>$

$\dfrac{5}{5}\ldots\ldots\ldots\ldots\dfrac{3}{2}$ ; 

$\dfrac{-2}{5}\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\dfrac{-4}{5}$ ; 

$|-0.5|\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\dfrac{1}{2}$

3. Range dans l'ordre croissant les nombres suivants : $\dfrac{41}{12}$ ; $\dfrac{7}{3}$ ; $\dfrac{-1}{12}$ ; $\dfrac{-2}{9}$

Exercice 2

1. Recopie et complète par le symbole qui convient : $\in$ ou $\not\in$

$\dfrac{41}{3}\ldots\ldots\ldots\ldots\mathbb{N}$ ; 

$\dfrac{42}{6}\ldots\ldots\ldots\ldots\mathbb{D}$ ; 

$-\dfrac{40}{12}\ldots\ldots\ldots\ldots\mathbb{Q}$

$15.5\ldots\ldots\ldots\ldots\mathbb{Q}$ ; 

$\dfrac{3}{4}\ldots\ldots\ldots\ldots\mathbb{Q}$

2. Rends irréductible les fractions suivantes :

$\dfrac{30}{15}=\ldots\ldots\ldots\ldots$ ;

$\dfrac{28}{42}=\ldots\ldots\ldots\ldots$ ;

$\dfrac{9}{27}=\ldots\ldots\ldots\ldots$

3. Calcule les expressions suivantes et donne le résultat sous forme de fraction irréductible :

a. $A=\left(\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{3}\right)\times\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{2} \right)=\ldots\ldots\ldots\ldots$

$B=\dfrac{7}{3}\times \left(\dfrac{2}{5}-4\right)=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

$C=\dfrac{1}{2}\dfrac{5}{5}\times \dfrac{2}{5}=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

Exercice 3

Première partie :

Pour chacune des énoncés, trois réponses sont proposées et une seule est exacte. Mets une croix sur le numéro de la question et la réponse choisie. 

Chaque réponse exacte rapporte $1$ point. 

Une réponse inexacte ou une absence de réponse est notée

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Enoncés }&\text{Réponse }A&\text{Réponse }B&\text{Réponse }C\\
\hline \text{soit }2\text{cercles }C(o\ ;\ r)&\text{tangents }&\text{tangents }&\text{disjoints }\\ \text{et }C'(o'\ ;\ r')\text{ Si }r+r'=&\text{extérieurement }&\text{intérieurement }&\text{extérieurement }\\ oo'\text{ alors }C\text{ et }C'\text{ sont }:&&&\\ \hline \text{Si }EF=35\,cm\;,EG=25\,cm&\text{On ne peut pas}&EFG\text{ est un triangle }&E\;,F\text{ et }G\text{allignés }\\ \text{et }FG=15\,cm\text{ alors :}&text{construire le triangle }EFG&&\\ \hline \text{Si }M\text{appartient au demi-plan }&MB<MA&AB>AM+MB&MA<MB\\ \text{contenant le point }A\;,\text{de frontière }&&&\\ \text{ la droite }(L)\text{ médiatrice de }[AB]\text{ alors :}&&&\\ \hline \end{array}$

Deuxième partie :

Soit $AR$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AS=5\,cm$ et $AR=3\,cm$

1. a. Faire une figure. 

b. Quelle est la distance du point $S$ à la droite $(AR)$ ? 

2. Trace le cercle $\left(C_{1}\right)$ de centre $S$ et de rayon $r_{1}=3\,cm$ 

Le cercle $\left(C_{1}\right)$ coupe $[AS]$ au point $I$

3.a. Trace le cercle $\left(C_{2}\right)$ de centre $A$ et de rayon $r_{2}$ tangent extérieurement au cercle $\left(C_{1}\right)$  en $I$

b. Calcule le rayon $r_{2}$ du cercle $\left(C_{2}\right)$

4.a. Trace la droite $(L)$ tangente au cercle $\left(C_{2}\right)$ en $I$

b. Quelle est la position relative de la droite $(L)$ et du cercle $\left(C_{2}\right)$ ?

Justifie ta réponse.

5.a. Marque un point $E$ sur le cercle $\left(C_{1}\right)$ telle que la distance du point $E$ à la droite $(AS)$ est $3\,cm$

b. Trace le cercle $\left(C_{3}\right)$ de diamètre $[SE]$

6. Donne la position relative de $\left(C_{1}\right)$ et $\left(C_{3}\right)$ puis celle de (
$\left(C_{2}\right)$ et $\left(C_{3}\right)$

$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$