Exercice N°1 

I. Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse.

1. Si $a$ et $b$ sont deux angles inscrits qui interceptent le même $arc$ de cercle alors $mes\overbrace{a}= 2×mes\overbrace{b}$

2. Si $x$ et $y$ représentent deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle alors la mesure de $x$ est égale à la moitié de celle de $y$.

3. Si $(c)$ est un cercle de centre $0$ et $A, B$ et $M$ sont trois points de ce cercle tels que : $mes\overbrace{AMB}=80°$ alors l’angle $mes\overbrace{OAB} = 160°$.

II. Complète les phrases suivantes :
$\overbrace{EHG}$ est un angle …..…………....…. …... ; $\overbrace{EOG}$ est un angle ………....….……....….

Les angles $\overbrace{EHG}$ et $\overbrace{EOG}$ sont des angles …..…………..….... car ils interceptent le même ……………………….$\overbrace{EG}$. 

En conclusion $\overbrace{EHG} = …..… \overbrace{EOG}$

Exercice N°2

$O$ est le centre du cercle passant par $A, B$ et $C$.
Nous avons posé $mes\overbrace{ACB} = x$.

Calculer à l'aide de $x :
mes\overbrace{OBA} ; mes\overbrace{OAB}$ et $mes\overbrace{AOB}$.

Exercice N°3

Enumérer tous les angles inscrits et les angles au centre de la figure

Cite parmi les angles inscrits ceux qui sont égaux.

Montre que $\overbrace{DOC} = 2\overbrace{DBC}$ et trouve une relation entre $\overbrace{DOC}$ et $\overbrace{CAD}$

Exercice N°4

a. On suppose que $\overbrace{AMB} = 45°$.

Calcule $\overbrace{AOB}$ et justifie que le triangle $AOB$ est rectangle isocèle.

b. On suppose que $\overbrace{AMB} = 30°$.

Calcule $\overbrace{AOB}$ et justifie que le triangle $\overbrace{AOB}$ est équilatéral.

Exercice N°5

1) Calculer $mes\overbrace{AOB}$ si $mes\overbrace{AMB} = 60°$.

2) Calculer $mes\overbrace{AOB}$ si $mes\overbrace{AOB} = 120°$.

Exercice N°6

Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de centre $O$ et de diamètre $[ST]$. 

La médiatrice de $[OT]$ coupe $[ST]$ en $H$ et le cercle
$(\mathcal{C})$ en $P$ et $P’$

1) Faire une figure

2) Sachant que l’angle $\overbrace{TPP′̂} = 30°$, calculer la mesure des angles $\overbrace{TSP′̂}$ , puis $\overbrace{TOP′̂}$ .

3) Sachant que le rayon du cercle $(\mathbb{C})$ est $6cm$, calcul

Exercice N°7

Sur la figure$\overbrace{ BMA} = 45°$ et $ANB$ est isocèle en $N$.

1) Quelle est la mesure de l’angle $\overbrace{BNA}$ ?

2) Quelles sont les mesures des angles $\overbrace{NBA}$ et $\overbrace{NAB}$ ?

3) Montrer que le triangle $AOB$ est rectangle.

Exercice N°8

ABC est un triangle inscrit dans un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$.

Déterminer la mesure des angles du triangle $ABC$ sachant que
$\overbrace{BOA} = 50°$ et $\overbrace{BOC}=150°$ 

Exercice N°9

racer un cercle $G$ de centre $O$ et de diamètre $[AB]$ tel que $AB = 5,4 cm$.

1) Construire un point $D$ du cercle tel que $\overbrace{ABD} = 37°$ 
.
2) Quelle est la nature du triangle $ABD$? 

Justifier votre réponse.

3) Quelle est la mesure de l’angle $\overbrace{BAD}$? 

Justifier votre réponse.

Exercice N°10

Placer trois points $A, B$ et $C$ dans cet ordre sur un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon $3cm$, de telle façon que les angles au centre$ AOB$ et $BOC$ mesurent respectivement $40°$ et $70°$.

1. Calculer la mesure de tous les angles du triangle $ABC$.

2. Calculer la longueur des arcs $AB$ et $AC$. (On donne $\pi =3$).

3. Soit $M$ un point diamétralement opposés à $B$. 

Calculer : $mes\overbrace{BMC} ; mes\overbrace{AMC}$ et $mes\overbrace{AMB}$

Exercice N°11

Soit $C(O, 3 cm)$ le cercle de centre $O$ et de rayon $3 cm$. 

Place deux points $A$ et $B$ sur $(C)$ tels que $AB = 4 cm$. 

Sur la corde $[AB]$, place un point $C$ tel que $BC = 2 cm$. 

Le cercle $(\mathcal{C’})$ circonscrit au triangle $AOB$ recoupe la droite $(OC)$ en $M$.

1. Fais une figure.

2. Démontre que $\overbrace{OMB} = \overbrace{OAB}$.

3. Démontre que $\overbrace{AMC}= \overbrace{OBA}$.

4. Démontre que la droite $(OM)$ est la bissectrice de l’angle $\overbrace{AMB}$ .

Exercice N°12

Dans la figure ci-contre $A, M$ et $B$ sont trois points distincts d’un cercle
de centre $O$. 

Sans reproduire la figure,

1. montre que l’angle $\overbrace{AOB} = 80°$.

2. Calcule la mesure de l’angle $\overbrace{AMB}$

EXERCICE 13

Dans la figure ci-contre, A, M et B sont trois points distincts d'un cercle de centre O. Sans reprendre la figure :

1. Montre que l'angle $\widehat{AOB} = 80^\circ$
2. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{AMB}$. (BFEM 2012, 2è tour Juillet)

EXERCICE 14

1. Trace un demi-cercle $(\mathcal{T}_1)$ de centre O et de diamètre $[AB]$ tel que $AB = 10 \text{ cm}$. Place sur $(\mathcal{T}_1)$ le point M tel que $\widehat{BAM} = 30^\circ$.
2. Le demi-cercle $(\mathcal{T}_2)$ de diamètre $[AO]$ coupe le segment $[AM]$ en N. La droite $(BN)$ coupe $(\mathcal{T}_1)$ en P. Trace $(\mathcal{T}_2)$ et place les points N et P.
3. • a) Montre que $BM = 5 \text{ cm}$.
   • b) Calcule la valeur exacte de AM.
   • c) Montre que N est le milieu de $[AM]$.
   • d) Montre que $\widehat{MBN} = \widehat{MAP}$ (BFEM blanc 2006)

EXERCICE 15

Soit un demi-cercle de centre I et de diamètre $[AB]$ avec $AB = 6 \text{ cm}$. Soit C le point du demi-cercle tel que $AC = 4 \text{ cm}$. E est le point de $(BA)$ tel que $BE = 8 \text{ cm}$. La perpendiculaire à $(BC)$ passant par E coupe $(BC)$ en F.

1. Fais une figure.
2. Démontre que le triangle ABC est rectangle en C.
3. Démontre que les droites $(AC)$ et $(EF)$ sont parallèles.
4. Calcule EF.
5. Montre que $\widehat{CTB} = 2 \widehat{CAB}$. (BFEM blanc 2009)

EXERCICE 16

1. Trace un cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de diamètre $AC = 10 \text{ cm}$. Place un point B sur le cercle $(\mathcal{C})$ tel que $AB = 5 \text{ cm}$.
2. Détermine la nature du triangle ABC. Justifie ta réponse.
3. Calcule la valeur exacte de la distance BC.
4. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$.
5. La parallèle à $(AB)$ passant par O coupe le segment $[BC]$ en H et le cercle $(\mathcal{C})$ en deux points D et E tels que $CD < CE$. Place les points H, D et E.
6. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{HOC}$.
7. Déduis-en la mesure de $\widehat{DEC}$ et celle de $\widehat{DEA}$. (BFEM blanc 2005)

EXERCICE 17

Construire un triangle ABC rectangle en B tel que $AB = 8 \text{ cm}$ et $BC = 6 \text{ cm}$.

1. Calculer AC.
2. On note $(\mathcal{T})$ le cercle circonscrit au triangle ABC. Déterminer son centre O et son rayon.
3. Soit D le symétrique de B par rapport à O. Placer le point G de $(\mathcal{T})$ situé sur le petit arc AB tel que $\widehat{BDG} = 30^\circ$.
   • a) Justifier que le triangle BDG est rectangle.
   • b) Calculer GB et DG.
4. La droite (DG) coupe la droite (AB) en E. Montrer que les angles $\widehat{GBA}$ et $\widehat{ADG}$ ont la même mesure.

EXERCICE 18

Soit un triangle ABC. On désigne par H le projeté orthogonal de A sur (BC). On donne $AB = 4 \text{ cm}$, $\widehat{HAB} = 30^\circ$ et $HA = HC$.

1. Fais une figure que tu compléteras au fur et à mesure.
2. Calcule BH et AH. Tu mettras les résultats sous la forme $a\sqrt{b}$ où a et b sont des entiers naturels.
3. Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de centre O circonscrit au triangle ABC. Démontre que les droites (OA) et (OB) sont perpendiculaires.
4. La droite (AH) coupe le cercle en E. Démontre que $\widehat{ABC} = \widehat{AEC}$. (BFEM blanc 2005)

EXERCICE 19

Le triangle ABC rectangle en A tel que $AB = 3 \text{ cm}$ et $\widehat{ABC} = 60^\circ$. On donne R le point R de $[AC)$ et n'appartenant pas à $[AC]$ tel que $CR = 6 \text{ cm}$.

1. Construis la figure que tu compléteras au fur et à mesure.
2. Calcule BC et AC puis détermine la nature du triangle BCR.
3. La parallèle à (BC) passant par R coupe (AB) en T. Montre que $TR = 2(3 + 2\sqrt{3})$.
4. Le cercle $(\mathcal{C})$ de centre B et de rayon $3 \text{ cm}$ coupe le segment $[BC]$ en F et le segment $[AT]$ en E. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{AEF}$. (BFEM blanc 2016)

EXERCICE 20

1. Soit un cercle $(\mathcal{T})$ de centre O et de rayon $4 \text{ cm}$ et $[AD]$ un de ses diamètres.
   • a) D'un côté de la droite (AD) construis le point G tel que le triangle ADG soit équilatéral.
   • b) De l'autre côté de la droite (AD), place le point B du cercle $(\mathcal{C})$ tel que $AB = 4 \text{ cm}$.
2. Démontre que le triangle OAB est équilatéral.
3. Justifie que les angles $\widehat{OAB}$ et $\widehat{ADG}$ sont égaux puis en déduire la position relative des droites (AB) et (DG).
4. La droite (BG) coupe $[AD]$ en I et $(\mathcal{T})$ en J. En utilisant le théorème de Thalès, justifie que $\frac{IA}{ID} = \frac{1}{2}$.
5. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{AJB}$. (BFEM 2007)

EXERCICE 21

La figure ci-contre n'est pas à refaire sur la copie. Le rayon du cercle $(\mathcal{C})$ de centre O est égal à $3 \text{ cm}$. $[AB]$ est un diamètre de $(\mathcal{C})$. Les points C et D appartiennent au cercle. La droite (CD) est la médiatrice du rayon $[OA]$ et elle coupe (OA) en F. La droite (OC) et la tangente au cercle $(\mathcal{C})$ au point B se coupent en E.

1. Montre que (CF) et (BE) sont parallèles.
2. Calcule OE.
   • a) Démontre que le triangle COA est équilatéral.
   • b) Déduis-en la mesure de l'angle $\widehat{FCO}$.
   • c) Détermine la mesure de l'angle $\widehat{DOE}$. (BFEM blanc 2005)

EXERCICE 22

Le triangle ABC rectangle en C est inscrit dans le cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon $2 \text{ cm}$ et tel que $\widehat{AOC} = 60^\circ$.

1. Fais la figure que tu compléteras au fur et à mesure.
2. • a) Montre que $\hat{B} = 30^\circ$.
   • b) Justifie que $AB = 4 \text{ cm}$ puis calcule BC et AC.
3. Le point H est pied de la hauteur issue du point C. la perpendiculaire à la droite (BC) passant par H coupe le segment [BC] en K.
   • a) Montre que $CH = \sqrt{3} \text{ cm}$.
   • b) Montre que les droites (AC) et (HK) sont parallèles.
   • c) Montre que $AH = 1 \text{ cm}$ puis calcule BK et HK.
4. Place le point L sur le segment $[AB]$ tel que $BL = 2,25 \text{ cm}$. Montre que les droites (CH) et (KL) sont parallèles. (BFEM blanc 2007)

EXERCICE 23

1. • a) Construire un cercle $(\mathcal{C})$ de centre I et de rayon $4 \text{ cm}$. A et B sont deux points de $(\mathcal{C})$ diamétralement opposés. Placer un point M sur $(\mathcal{C})$ tel que $AM = 4 \text{ cm}$.
   • b) Quelle est la nature du triangle AMI ?
   • c) En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BIM}$.
2. K est le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) passant par I et la droite (AM).
   • a) Justifier que AMB est un triangle rectangle.
   • b) En remarquant que $\cos \widehat{BAM} = \cos \widehat{KAI}$, calculer AK et KI.
3. Le point H est le projeté orthogonal de M sur (AB).
   • a) Calcule $\cos \hat{B}$ de deux manières différentes.
   • b) Exprime BH en fonction de $\cos \hat{B}$ puis démontre que $BH = \frac{BM^2}{AM}$.
4. Placer le point E sur le segment $[AM]$ tel que $AE = 3 \text{ cm}$. La parallèle à (IM) passant par E coupe le segment $[AI]$ en F. Quelle est la nature du triangle AEF ? (BFEM 2005)

EXERCICE 24

ABCD est un trapèze rectangle tel que $AB = 4 \text{ cm}$, $AD = 3 \text{ cm}$ et $DC = 6 \text{ cm}$.

1. Fais la figure en vraie grandeur que tu compléteras au fur et à mesure.
2. Calcule BD et AC.
3. La perpendiculaire à la droite (DC) passant par B coupe (DC) en E. Montre que $BC = \sqrt{13}$.
4. Soit F le point de la droite (EB) n'appartenant pas à $[EB]$ tel que $EF = 1,5 \text{ cm}$. Démontre que les droites (CF) et (DB) sont parallèles.
5. Calcule FC.
6. Soit $(\mathcal{C})$ le cercle circonscrit au triangle ABD. $(\mathcal{C})$ coupe $[DF]$ en G.
   • a) Détermine le centre O et le rayon du cercle.
   • b) Quelle est la nature du triangle GBD ? Justifie.
   • c) Compare les angles $\widehat{BDA}$ et $\widehat{AGB}$. Justifie ta réponse. (BFEM blanc 2010)