Exercice N°1   

Réponds par vrai ou faux :

a) La translation de vecteur $\vec{U}$ suivie de la translation de vecteur $\vec{V}$ est égale à la translation de vecteur $\vec{V}+ \vec{U}$.

b) La symétrie de centre $A$ suivie de la symétrie de centre $B$ est égale à la translation de vecteur $2\vec{BA}$.

c) Une rotation transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.

d) Par une rotation de centre $A$, l’image du point $A$ est le point $A$ lui-même.

e) Si deux droites $(D)$ et $(D’)$ sont sécantes, alors la symétrie orthogonale par rapport à $(D)$ suivie de la
symétrie orthogonale par rapport à $(D’)$ est une translation.

f) Si deux droites $(D)$ et $(D’)$ sont sécantes, alors la symétrie orthogonale par rapport à $(D)$ suivie de la
symétrie orthogonale par rapport à $(D’)$ est une symétrie centrale.

g) Si deux droites $(D)$ et $(D’)$ sont perpendiculaires, alors la symétrie orthogonale par rapport à $(D)$ suivie de
la symétrie orthogonale par rapport à $(D’)$ est une symétrie centrale.

Exercice N°2

Dans chaque cas indique la bonne réponse parmi celles proposées dans le tableau correspondant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} 
\hline
N&\text{Enoncés }&\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}\\
\hline
1&\text{Soit A et B deux points.}&\text{A milieu de [BB’].}&\text{B’ milieu de [AB].}&\text{ B milieu de [AB’].}\\
&\text{L’image de B par la translation de}&&&\\
&\text{vecteur} \vec{AB}\text{ est le point B’ qui vérifie}&&&\\
\hline                                                                                                                                                                                                                                                                             2&\text{Si I est milieu de [AB] alors A est}&\text{La rotation de centre}&\text{La rotation de}&\text{La translation qui}\\
&\text{l’image de B par}&\text{I et d’angle 90°.}&\text{centre I d’angle}&\text{transforme I en B.}\\
&&&180°.&\\                                                                                                                                                                                                                                                                      \hline                                                                                                                                                                                                                                                                         3&\text{Soit un carré de centre O. L’image du}&100°.& 45°.& 90°.\\
&\text{carré est le carré lui-même par une}&&&\\
&\text{rotation de centre O et d’angle}&&&\\
\hline
\hline
\end{array}$$

Exercice N°3

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 6 cm$ et $AC = 4 cm$.

On désigne par :
$\bullet D$ le symétrique du point $B$ par rapport au point $A$.

$\bullet$ $E$ le symétrique du point $C$ par rapport au point $A$.

$\bullet F$ le point tel que $DECF$ soit un parallélogramme.

1) Faire une figure.

2) Calculer la valeur exacte de $BC$.

3) Calculer $\tan A\overbrace{B}C$ ; en déduire la mesure de $A\overbrace{B}C$ au degré près.

4) a) Quelle est la nature du quadrilatère $BCDE$ ? 

Justifier la réponse.

b) Quelle est l’image du triangle $ABE$ dans la symétrie de centre $A$ ?

c) Quelle est l’image de $C$ par la translation de vecteur $\vec{ED}$?

Quelle est l’image de $B$ par cette translation ? 

En déduire que $C$ est le milieu de $[BF]$. (Brevet $1991$)

Exercice N°4

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, \vec{OI}, \vec{OJ})$. 

On donne les points $A\left(^{1}_{2}\right), B\left(^{3}_{2}\right)$ et $C\left(^{2}_{3}\right)$.

1) Trouver les coordonnées de $D$ pour que ABDC soit un parallélogramme. 

On notera $ABDC$ la figure $(1)$.

2) Construire la figure $(2)$ image de la figure $(1)$ par la translation de vecteur $\vec{BC}$.

3) Construire la figure $(3)$ image de la figure $(1)$ par la rotation de centre $A$ et d’angle $45°$ dans le sens des aiguilles d’une montre.

4) Construire la figure $(4)$ image de la figure $(1)$ par la symétrie centrale de centre $O$.

5) Construire la figure $(5)$ image de la figure $(1)$ par la symétrie orthogonale d’axe $(yy’)$ centrale de centre $O$.

(Utiliser des couleurs différentes).

Exercice N°5

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, \vec{OI}, \vec{OJ})$. .

 On donne les points $K\left(^{−2}_{1}\right), M\left(^{1}_{−3}\right)$ et $N\left(^{2}_{−5}\right)$.

1. Trouver les coordonnées de $P$ image de $K$ par la translation de vecteur $\vec{MN}$.

2. Trouver les coordonnées de $F$ symétrique de $K$ par rapport à$ $O$. 

(On demande de faire la figure).

Exercice N°6

$(O, I, J)$ est un repère orthonormal.

1) Tracer les droites d’équation $y = 2; y = x + 2$ et $y = − \dfrac{1}{2} x + \dfrac{7}{2}$ .

 Ces droites délimitent un triangle $T$.

2) Voici trois points : $A(−2; 1), B(−5; 0)$ et $C(−1; 4)$, Construire l’image du triangle $T$ par la translation de
vecteur $\vec{AB}$ ; suivie de la translation de vecteur $\vec{AC}$.

Exercice N°7 BFEM 2009

Dans le plan muni d’un repère orthonormal $(O, I, J)$, On donne les points : $A (5 ; 0) ; B (6 ; 2)$ et $C (2 ; 4)$.

1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

2. Construis le point $D$ tel que $\vec{BD}=\vec{ AB}$ puis calculer ces coordonnées.

3. Construis le point $E$ symétrique de $C$ par rapport à $B$, puis calcule ses coordonnées.

4. Justifier que le quadrilatère $ACDE$ est un losange.

5. Soit $F (12 ; 4)$ ; justifier que$ F$ est l’image de $E$ par la translation de vecteur.

Exercice N°8 BFEM 2008

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O, \vec{OI}, \vec{OJ})$,on donne les droites $(D)$ et $(D’)$ telles que :
$(D): x − y + 1 = 0$ et $(D′): x + y + 3 = 0$.

1. Montrer que les droites $(D)$ et $(D’)$ sont perpendiculaires puis tracer les droites $(D)$ et $(D’)$ dans le repère.

2. Déterminer graphiquement les coordonnées du point d’intersection $A$ de $(D)$ et$ (D’)$.

3. Soit $B (0 ;−5)$. 

Construire le point $E$ image de $B$ par le symétrique orthogonal d’axe $(D’)$ suivie de celle d’axe $(D)$. 

Quelle est la nature de cette transformation du plan ?

4. Trouver les coordonnées de $E$.

Exercice N°9

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O, \vec{OI}, \vec{OJ})$,on donne les droites $(D)$ et $(D’)$ telles que :
$(D): y = x$ et $(D′): y = x + 2$.

1) Montrer que les droites $(D)$ et $(D’)$ sont parallèles puis tracer les droites $(D)$ et$ (D’)$ dans le repère.

2) Construire le point $A‘$ image $A$ par la symétrique orthogonale d’axe $(D)$ suivi de $(D‘)$.

3) Déterminer graphiquement les coordonnées du point $A‘$.

Exercice N°10

1. Le plan est muni d’un repère orthonormal. 

Place les points $A (1 ; −1) ; B (3 ; 1) et C (1 ; 3)$.

2. Montre que $\vec{AB}$ et$\vec{BC}$ sont orthogonaux. 

Déduis-en que les droites $(AB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.

3. Calcule les coordonnées du point $E$ milieu de $[AC]$.

4. Construis le point $F$ image de $E$ par la symétrie orthogonale par rapport à $(BC)$ suivi de la symétrie orthogonale par rapport à $(AB)$. 

5. Calcule les coordonnées du point $F$.