Exercice N°1

I. Choisis la bonne réponse
1) Si $\overbrace{a}$ et $\overbrace{b}$ sont deux angles complémentaires, alors $\cos \overbrace{a}$ est égal à : a)$ \cos\overbrace{b}$  b)$ \sin\overbrace{b}$ c)$\tan\overbrace{b}$

2) $DEF$ est un triangle rectangle en $E$. 

Donc $\dfrac{DE}{DF} =$  a)$\tan\overbrace{EFD}$ b)$\cos\overbrace{DEF}$ c)$\sin\overbrace{EFD}$

3) On considère deux angles $\cos\overbrace{A}$ et $\cos\overbrace{B}$ tels que $\overbrace{A} = 90° − \overbrace{B}$. 

Quelle relation a-t-on ? a) $\cos \overbrace{A} = \cos \overbrace{B}$ b) $\cos\overbrace{A} = \sin m \overbrace{B} $ c) $\sin \overbrace{B} = \sin \overbrace{A}$

4) Quelle est la valeur du sinus d’un angle de $60°$ ? a) $\dfrac{1}{2}$ b)$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ c) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
5) $β$ est un angle aigu. 

Si $\cos\beta = \dfrac{3}{4}$ alors : a) $\sin\beta = 0 ,75$ b) $\sin\beta = \sqrt{\sqrt{7}}{4}$ c) $\sin\beta = 0 ,25$

6) Soit $MNP$ un triangle rectangle en $N$ telque $MN=6cm$ et $sin \overbrace{MPN}  = 30°$ .

Quelle est la mesure de $[MP]$? a) $3cm$ b) $12cm$ c) $6cm$

7) Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$ tel que $AB=4cm$ et $\sin \overbrace{ CBA} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . 

Quelle est la longueur du segment $[AC]$ ? a) $3\sqrt{2}cm$ b) $2\sqrt{3}cm$ c) $\dfrac{\sqrt{3}}{2} cm$

II. Recopier chacune des affirmations suivantes ci-dessous. 

Dire si elle est vraie $(V)$ ou fausse $(F)$

a) Si sin $x̂ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ alors $\cos(90° − x̂) = \dfrac{√2}{3}$

b) Si $x̂$ est un angle tel que $\cos(x̂) = \dfrac{5}{7}$ alors $\sin(90° − x̂) = 5$

III. Soient la figure suivante :

Exercice N°2

OMN est un triangle rectangle en $O$.

1. Montre que les angles $M̂$ et $N̂$ sont complémentaires.

2. Sachant que, $\cos\overbrace{OMN} = \dfrac{4}{5}$ détermine $\sin\overbrace{OMN}$.

Exercice N°3

$ABC$ est un triangle. $H$ est le pied de la hauteur issue $A$. 

On donne $AH = 4 cm, \overbrace{CAH} = 30°$ et
$\sin \overbrace{ABC} = \dfrac{2}{3}$ . 

Calcule $AB$ et $AC$.

Exercice N°4

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$. 

Calcule la mesure de l’angle $\overbrace{ACB}$ au degré près lorsque :
$AC = 10 cm$ et $AB = 4cm$.

Exercice N°5 

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$; l'unité de longueur est le centimètre.

A l'aide des indications données, calculer une valeur approchée de la longueur des deux autres côtés.

a)$\overbrace{ABC}= = 18°$ et $AB = 5cm$. b) $ABC = 32°$ et $AC = 9cm$.

Exercice N°6

Soit $\alpha$ un angle tel que $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . 

Calculer $\cos\alpha$ et $\tan\alpha$.

Exercice N°7

Calcule la valeur exacte de :
$\cos 30° + \cos 30° ; \cos 245° + \sin 230° ; \dfrac{1}{\cos 60°} +\cos 30° ; \dfrac{1}{\cos 60°+\tan 45° };
(\cos 45° + \sin 60°)^{2} ; \dfrac{1}{\tan 60°} ; \sin(30° +30° )$

Exercice N°8

1. Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=8cm$ et $AC=4cm$

2. Soit $H$ le projet orthogonal de $A$ sur $[BC]$.

On donne $AB^{2}=BH x BC$ et $AC^{2}=CH x BC$.

3. Calcule $BH, CH$ puis $AH$

4. La parallèle a $(AH)$ passant par $C$ coupe $(AB)$ en $E$. 

Calcule $AE$ puis déduis-en $EC$. 

Calcule sin $E$.

Exercice N°9

$ABC$ est un triangle rectangle en $B. H$ est le pied de la hauteur issue de $B$. 

On note $\alpha$ la mesure de $\overbrace{BCA}$.
On donne : $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3} BH=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et $AC =\sqrt{5}$

1) a. Calcule $\cos \alpha$

b. Déduis en $HC$ et $AB$.

2) Donne un encadrement de $\overbrace{BCA}$ sachant que : $2,236< \sqrt{5}< 2,237
\tan 47° = 1,0772 ; \tan 48° =1,111 ; \tan 49°= 1,150 ; \tan 50° =1,192$

3) Une droite $(d)$ parallèle à $(BC)$ passant par $H$ coupe $[AB]$ en $E$.

b. Compare les mesures des angles $\overbrace{EHA}$ et $\overbrace{BCA}$

c. En déduire que $\dfrac{BC}{AB} =\dfrac{EH}{EA}$.

Exercice N°10

a) Sachant que $\cos x = 0,6$ calculer $\sin x$ et $\tan x$ en utilisant les relations entre $\cos x, \sin x$ et $\tan x$.

b) Développe et réduis l’expression suivante $(\cos x + \sin x)^{2} + (\cos x - \sin x)^{2}$

c) Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ et $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.

Exprimer $\sin\overbrace{ABC}$ en fonction $AH$ et $AB$ puis $\sin\overbrace{BCA}$ en fonction de $AH$ et $AC$.

En déduire que $\dfrac{AH^{2}}{AB^{2}} + \dfrac{AH^{2}}{AC^{2}} = 1$ puis que $\dfrac{1}{AB^{2}}  + \dfrac{1}{AC^{2}}  = \dfrac{1}{AH^{2}}$

Exercice N°11

Tracer un demi – cercle $C$ de diamètre $AB = 10cm$ et placer $M$ sur $C$ tel que $AM = 6cm$.

1. Nature de $AMB$ ? Justifier.

2. Calculer $\cos\overbrace{MAB}$ et $\sin\overbrace{MBA}$.

3. Déterminer graphiquement une mesure approchée de $\overbrace{MAB}$ et de $\overbrace{MBA}$

Exercice N°12

On considère le schéma ci- dessous.

Le cercle $(C)$ est un cercle de centre $O$ et de diamètre $BF = 4cm$. 

$A$ est un point du cercle $C$ tel que $AB = 2,4 cm$ ; la perpendiculaire à la droite $(AF)$ passant par $O$ coupe le segment $[AF]$ en $E$.

1. Justifie que le triangle $ABF$ est rectangle en $A$.

2. Calcule $\sin\overbrace{AFB}$ puis déduis-en la mesure en degré de
l’angle $\overbrace{AFB}$ à un $1^{°}$ près par excès. 

Déduis-en $\cos\overbrace{FBA}$ .

3. Calcule la longueur $AF$ ; puis celle de $EF$.

4. En utilisant $\tan\overbrace{AFB} $, calcule la longueur $EO$ à $0,1$ près.

Exercice N°13 BFEM 2004

1) Tracer un demi – cercle $C$ de centre $O$ et de diamètre $AB$ tel que $AB = 2r$.

Soit $M$ un point du demi – cercle $C$ plus proche de $B$ que de $A$. 

Quelle est la nature du triangle $AMB$ ?

Justifier.

2) Soit $a$ et $b$ les mesure en degrés respectivement des angles $\overbrace{BAM}; \overbrace{BAM} $ et$ C$ le pied de la hauteur du
triangle $AMB$ issue de $M$.

a°/Donner deux expressions différentes de $\cos a$.

b°/ En déduire que : $AC = AM \cos a$ et $AM^{2} = AB x AC$.

c°/ On sait que $AC = AO + OC$. 

Exprimer $OC$ en fonction de $\cos b$. 

En déduire que $AC = r (1 + \cos b)$

d°/ Déduire des questions précédentes que $\cos^{2} = \dfrac{1+\cos b}{2}$

Exercice N°14 BFEM 2005

1° a°/ Construire un cercle $(C)$ de centre $I$ et rayon $4 cm$. 

$A$ et $B$ sont deux points de $(C)$ diamétralement opposés. 

Placer un point $M$ sur $(C)$ tel que $AM = 4 cm$.

b°/ Quelle est la nature du triangle $AMI$ ?

c°/ En déduire la mesure de l’angle $\overbrace{BIM}$.

2°/ $K$ est le point d’intersection de la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $I$ et la droite $(AM)$.

a°/Justifier que $AMB$ est un triangle rectangle.

b°/En remarquant que $\cos\overbrace{BIM}=\cos\overbrace{KAI}$, calculer $AK$ et $ KI$.

3°/Le point $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$.

a°/Calculer $\cos\overbrace{B}$, de deux manières différentes.

b°/ Exprimer $BH$ en fonction de $\cos\overbrace{B}$ puis démontrer que $BH =\dfrac{BM^{2}}{AB}$

4°/Placer le point $E$ sur le segment $[AM]$ tel que $AE = 3 cm$.
La parallèle à $(IM)$ passant par $E$ coupe le segment $[AI]$ en $F$.

Quelle est la nature du triangle $AEF$ ?

 

 

 

EXERCICE 15

EFG est un triangle rectangle en E tel que \(FG=9 \, \text{cm}\) et \(\cos \widehat{EFG} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\).

1. Rappeler la relation entre le cosinus et le sinus d'un même angle \(\hat{\alpha}\).
2. Calculer la valeur exacte de EF.

EXERCICE 15

OMN est un triangle rectangle en O.

1. Montre que les angles \(\widehat{M}\) et \(\widehat{N}\) sont complémentaires.
2. Sachant que \(\cos \widehat{OMN} = \frac{4}{5}\), détermine \(\sin \widehat{ONM}\). (BFEM 2012, 2è tour)

EXERCICE 16

ABC est un triangle. H est le pied de la hauteur issue de A. on donne :
\(AH = 4 \, \text{cm}\), \(\widehat{CAH} = 30^\circ\) et \(\sin \widehat{ABC} = \frac{2}{3}\).
Calcule AB et AC. (BFEM 2012, 2è tour)

EXERCICE 17

ABC est un triangle tel que \(AB = 5 \, \text{cm}\) et \(\widehat{A} = 45^\circ\) et \(\widehat{C} = 30^\circ\). Le point H est le projeté orthogonal de B sur (AC).

1. Faire une figure.
2. Calcule AH, BH, CH, AC et BC.

EXERCICE 18

Soit ABC un triangle rectangle en C tel que \(\widehat{ABC} = 30^\circ\) et \(BC = 7 \, \text{cm}\).

1. Faire une figure.
2. Sachant que \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) calcule \(\sin 30^\circ\) et \(\tan 30^\circ\).
3. Calcule AB et AC.
4. Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB). Calcule CH, HB et HA. (BFEM blanc)

EXERCICE 19

Une échelle est appuyée contre un mur vertical et fait un angle de \(72^\circ\) avec le sol horizontal. Le pied de l'échelle est à 1,5 cm du pied du mur (Voir figure ci-contre).

1. Calcule la longueur de l'échelle en prenant \(\cos 72^\circ = 0,3\).
2. Détermine à \(10^{-1}\) près la hauteur à laquelle se trouve le point d'appui de l'échelle au mur. (BFEM 2000)

EXERCICE 20

[MN] est un segment de longueur 12 cm et H un point de [MN] tel que MH = 1 cm.
Le cercle de diamètre [MN] coupe la perpendiculaire à (MN) passant par H en P.

1. Précise, en justifiant, la nature du triangle MNP.
2. Exprime de deux façons différentes \(\cos \widehat{NMP}\) puis déduis-en que \(MP = 2\sqrt{3} \, \text{cm}\).
3. Q est le point de la droite (NP) tels que N, P et Q soient alignés dans cet ordre et PQ = 6 cm.
   
   1. Calcule en degré la mesure de l'angle \(\widehat{MQP}\).
   2. Calcule la valeur exacte de la longueur MQ.

EXERCICE 21

ABC est un triangle tel que \(AB = 6 \, \text{cm}\) ; \(AC = 8 \, \text{cm}\) et \(BC = 10 \, \text{cm}\).

1. Démontrer que ce triangle est rectangle.
2. La perpendiculaire à (BC) passant par A coupe [BC] en H.
   
   1. Exprimer \(\cos \widehat{ABC}\) de deux manières différentes.
   2. En déduire que \(AB^2 = BH \times BC\).
   3. Calculer les longueurs exactes de BH et HC.
3. Soit I le point de [AB] tel que \(BI = 4,5 \, \text{cm}\) et J le point de [AC] tel que \(AJ = 2 \, \text{cm}\). Démontrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
4. Calculer \(\mathcal{A}_1\) et \(\mathcal{A}_2\) les aires respectives des triangles ABC et AIJ.
5. Montrer que \(\frac{\mathcal{A}_2}{\mathcal{A}_1} = k^2\) puis en déduire k sous la forme d'une fraction irréductible.

EXERCICE 22

1. Construire un triangle ABC rectangle en A tel que \(AB = 5 \, \text{cm}\) et \(\widehat{ABC} = 30^\circ\).
2. Calculer la longueur AC.
3. La perpendiculaire à la droite (BC) passant par le point C coupe la droite (AB) en E. Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{CEB}\).
   
   1. En déduire EC.
4. Placer le point O du segment [BC] tel que \(BO = 5 \, \text{cm}\). Tracer le cercle (\(\mathcal{C}\)) de centre O passant par le point B, il recoupe la droite (AB) en F et la droite (BC) en G.
   
   1. Quelle est la nature du triangle BFG ? Justifier la réponse.
   2. En déduire la longueur de [BF].

EXERCICE 23

Construire un triangle ABC rectangle B tel que \(AC = 6 \, \text{cm}\) et \(BC = 4 \, \text{cm}\).

1. Calculer \(\sin \widehat{A}\) puis en déduire la valeur de \(\cos \widehat{A}\) (valeurs exactes).
2. H est le pied de la hauteur issue de B. Calculer les valeurs exactes de AB et BH.
3. Placer les points E et F tels que :
   • A, B et F soient alignés dans cet ordre et \(BF = 2 \, \text{cm}\).
   • C, B et E soient alignés dans cet ordre et \(BE = 1,6 \, \text{cm}\).

   Que peut-on dire des droites (AC) et (EF)? Justifier.

EXERCICE 24

1. Trace un demi-cercle de centre I et de diamètre [RA] tel que \(RA = 7 \, \text{cm}\).
2. Trace la corde [RS] telle que \(RS = 5,6 \, \text{cm}\).
3. Démontre que le triangle RAS est rectangle en S.
4. Calcule AS et \(\tan \widehat{A}\).
5. Soit E le point appartenant à [RS] et F le point appartenant à [AS] tels que \(SE = 4,8 \, \text{cm}\) et \(SF = 3,6 \, \text{cm}\). Démontre que (EF) est parallèle à (RA). (BFEM 2011)

EXERCICE 25

1. Construis un triangle MON rectangle en N tel que \(MN = 7,5 \, \text{cm}\) et \(\widehat{MON} = 30^\circ\).
2. Calcule NO et MO.
3. Soit I le pied de la hauteur issue de N, calcule NI.
4. La droite passant par M et parallèle à la droite (NI) coupe la droite (ON) en T. Calcule MT.
5. Soit E le centre du cercle circonscrit au triangle MOT ; démontre que MET est un triangle équilatéral. (BFEM 2012)

EXERCICE 26

1. Justifie que le triangle NRM est rectangle.

Dans la suite du problème on suppose que \(MR = 8 \, \text{cm}\) et \(NR = 6 \, \text{cm}\).

2. Calcule MN.
3. Calcule \(\tan \widehat{RMN}\).
4. Démontre que I est le milieu de [MS].
5. Montre que \(NQ = 9 \, \text{cm}\).
6. Démontre que la droite (OR) est parallèle à la droite (MS). (BFEM 2011)

EXERCICE 27

On considère un triangle LMN rectangle en M tel que \(LM = 6 \, \text{cm}\) et \(\widehat{MLN} = 30^\circ\).

1. Montre que la valeur exacte de LN est \(4\sqrt{3} \, \text{cm}\).
2. Trace le cercle (\(\mathcal{C}\)) de diamètre [LM] ; il recoupe le segment [LN] en P. Quelle est la nature du triangle LMP ? Justifie ta réponse.
3. Montre que la valeur exacte de MP est 3 cm.
4. Montre que la valeur exacte de LP est \(3\sqrt{3} \, \text{cm}\).
5. Trace la droite perpendiculaire à (LN) passant par N ; elle coupe (LM) en R. Justifie que les droites (RN) et (MP) sont parallèles.
6. Montre que la valeur exacte de RN est 4 cm.

EXERCICE 28

ABC est triangle tel que : \(AC = 6 \, \text{cm}\), \(\widehat{CAB} = 30^\circ\) et \(AB = 4 \, \text{cm}\). Soit H le pied de la hauteur issue de B.

1. Construis le triangle ABC.
2. Montre que \(AH = 2\sqrt{3} \, \text{cm}\) et \(BH = 2 \, \text{cm}\).
3. Trace la parallèle à (BC) passant par H. Elle coupe (AB) en I.
   
   1. Calcul Al et HI sachant que \(BC = 3,2 \, \text{cm}\).
   2. Construis le cercle (\(\mathcal{C}\)) de centre A tangent à (BH) en H ; il coupe (HI) en M et (AB) en N. Justifie que \(\widehat{HMN} = 15^\circ\).
4. Sur la demi-droite opposée à [CA), place le point E tel que \(CE = 1,5 \, \text{cm}\) et sur la demi-droite opposée à