Test

EXERCICE 1
En détaillant les étapes du calcul, exprime en fonction de $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 5$, $\ln 7$ les réels suivants :

\[
A = \ln\left( \frac{6e}{a} \right) \quad ; \quad B = \ln(4,2) \quad ; \quad C = \ln\left( \frac{7 \times 8}{e} \right) \quad ; \quad D = \ln(2e) - 2\ln 8
\]
\[
F = \ln\left( \frac{1}{11} \right) \quad ; \quad E = 3\ln\left( \frac{e}{e} \right) + \ln\left( \frac{1}{e} \right) + \ln\left( \frac{1}{\sqrt{e}} \right)
\]

Exercice 2
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

   1) $\ln(3x - 4) = \ln(x + 2)$
   2) $\ln(-x + 1) + \ln(x - 2) = \ln(x + 7)$
   3) $\ln(3x^2 + 10) > 2\ln(x + 4) > \ln(2x^2)$
   4) $4(\ln x)^2 - 4\ln x - 3 = 0$
   5) $2(\ln x - \ln x^{-1}) - 5[\ln(x^2 + 1)] - 3\ln(x + 1)^2 = 0$

Exercice 3
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

    1)$ \ln(1 + 2x) = \ln(x + 6)$
    2) $\ln(2x + 1) - \ln(x + 5) = \ln(x - 2)$
    3) $2\ln(x - 3) = \ln 16$
    4)$3\ln(x - 1) = \ln 27$
    5) $\ln x + \ln(x + 1) = \ln 2$
    6) $\ln(x^2 - 1) = \ln x$
    7) $\ln\left( \frac{2x - 1}{x} \right) = -2\ln(x - 1)$
    8) $\ln\left( \frac{x^2 + x}{2} \right) = 3\ln x$
    9) $2\ln\left( \frac{x + 3}{x - 3} \right) - \ln(x - 1) = \ln 4$
    10) $\ln\left( \frac{x - 1}{x + 2} \right) = 0$
    11) $(\ln x)^2 + \ln x - 6 = 0$
    12) $\ln(2x + 1)^2 = 2\ln(x + 1)$

Exercice 4
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

    1) $\ln(1 + 2x) \leq \ln(x + 6)$
    2) $\ln(x + 1) \geq \ln(x - 2)$
    3) $\ln(x - 1) + \ln(x - 3) \leq \ln 3$
    4) $\ln(2x + 5) - \ln(x + 5) \leq \ln(2 - x)$
    5) $\ln\left( \frac{x + 1}{x - 2} \right) < 1$
    6) $\ln\left( \frac{x + 1}{x - 2} \right) > \ln(6 - x) = \ln x^2$
    7) $\ln\left( \frac{2x + 1}{x - 1} \right) \geq 0$
    8) $\ln(1 - 3x) \ln x \geq 0$
    9) $(0.1)^{\ln x} \leq 0.1$

Exercice 5
Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ :

    1) $\begin{cases} x + y = 5 \\ \ln x + \ln y = \ln 6 \end{cases}$
    2) $\begin{cases} x + y = 5 \\ \ln x + \ln y = 4 \end{cases}$
    3) $\begin{cases} x + y = 5 \\ \ln x + 2\ln 5 = \ln 12 - \ln y \end{cases}$
    4) $\begin{cases} \ln x + \ln y = -2 \\ \ln x + 3 \ln y = -4 \end{cases}$
    5) $\begin{cases} \ln x^3 + \ln y^2 = 3 \\ \ln y^2 - \ln x^2 = -2 \end{cases}$
    6) $\begin{cases} 2\ln x + 3\ln y = -2 \\ 3\ln x + 5\ln y = -4 \end{cases}$
    7) $\begin{cases} x - y = 3 \\ \ln x + \ln y = \ln 4 \end{cases}$
    8) $\begin{cases} \ln x + \ln(y - 1) = 0 \\ \ln x - \ln(y + 1) = 0 \end{cases}$
    9) $\begin{cases} \ln x + 2\ln(y + 1) = 0 \\ \ln x + \ln y = 0 \end{cases}$
    10)v $\begin{cases} \ln(xy) = -2 \\ \ln(xy) = -12 \end{cases}$

Exercice 6
Soit $P(x) = 2x^3 - x^2 - 5x - 2$

    1)Calculer $P(-1)$
    2) En déduire une factorisation de $P(x)$
    3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ $P(x) = 0$ et $P(x) \leq 0$
    4) Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
    
       a) $2(\ln x)^3 - 5(\ln x) - (\ln x)^2 \leq 0$
        b) $(\ln x)^3 - (\ln x)^2 - 5\ln x + 2 \leq 0$
    

Exercice 7
Soit le polynôme $P(x) = -2x^3 + 12x^2 - 22x + 12$

    1)Calculer $P(1)$. En déduire une factorisation de $P(x)$ puis résoudre $P(x) = 0$
    2)En déduire les solutions des équations suivantes :
    
       a) $-2(\ln x)^3 + 12(\ln x)^2 - 22(\ln x) + 12 = 0$
       b) $-2(\ln(x - 1))^3 + 12(\ln(x - 1))^2 - 22\ln(x - 1) + 12 = 0$
       c) $-2\left( \ln\left( \frac{x}{2} \right) \right)^3 + 12 \left( \ln\left( \frac{x}{2} \right) \right)^2 - 22 \ln\left( \frac{x}{2} \right) + 12 = 0$
       d) $P(\ln x) = 0$ et $P(\ln x) \leq 0$
    

Exercice 8
Soit le polynôme $P(x) = x^3 - 2x^2 + x + 2$

    1) Montrer que $P(-1) = 0$ puis résoudre $P(x) = 0$
    2) En déduire les solutions dans $\mathbb{R}$ des équations suivantes :
    
       a) $(\ln x)^3 - \ln x - 2(\ln x)^2 + 2 = 0$
       b) $(\ln(x - 1))^3 - (\ln(x - 1)) - 2(\ln(x - 1))^2 + 2 = 0$
       c) $(\ln x)^3 - \ln x - 2(\ln x)^2 + 2 = 0$
       d) $\ln^3 x - \ln x - 2(\ln x)^2 + 2 = 0$
    

Exercice 9
Déterminer $D_f$, les limites aux bornes de $D_f$, la dérivée et dresser le tableau de variation de :
\[
f(x) = \ln(x - 2) - \ln(x + 2)
\]
\[
f(x) = \ln\left( \frac{2x}{1 - x} \right)
\quad
f(x) = \ln\left( \frac{2}{x} \right)
\quad
f(x) = \ln\left( \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \right)
\quad
f(x) = x \ln x
\]

Exercice 10}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln(ax + b)$ et sa courbe.

    1) Déterminer $a$ et $b$ tel que $f(2) = 0$ et $f(3) = 3/4$
    2) Construire alors $\mathcal{C}$