Test Olympiades Maths_2023 5e-4e : niveau $5^{ème}$ - $4^{ème}$

Problème 1 :

Une notion décimale pratique

Une notation décimale de $\dfrac{1}{11}$ est $0.09090909\ldots$ ou bien $0.\overline{09}$

De même $0.\overline{125}$ représente le nombre $0.125125125\ldots$

Une notation décimale de $\dfrac{1}{7}$ étant  $0.142857142857\ldots$ ou ̅̅̅̅̅̅̅̅̅, $0.\overline{142857}$ quel est le
$2023^{ème}$ chiffre après la virgule de $\dfrac{1}{7}$ ?

Problème 2 :

Aire de triangles !!!

$EFGH$ est un trapèze, ses diagonales se coupent en $K$

Montre que les triangles $EKH$ et $FKG$ ont
même aire

Problème 3 :

Une somme inconnue !!!

Détermine la somme des nombres compris entre $1923$ et $2023$ qui sont divisibles à la fois par $5$ et par $9$

Problème 4 :

De l'optimisation !!!
 
$(\Delta)$ est une droite et $A$ et $B$ deux points situés d'un même côté par rapport à $\Delta)$

Reproduis la figure puis construis le point $M$

sur $(\Delta)$ pour que le nombre $MA+MB$ soit le plus petit possible.

On donnera toutes les étapes de la construction