Olympiades nationales de mathématiques édition - 2023

Problème 1 :

Jeux de cache-cache

Chaque carré gris cache le même nombre.

Chaque carré blanc cache le même nombre.

La somme des trois nombres d'une ligne est Indiquée par la flèche.

Quel est le nombre caché par le carré noir ?

Justifie ta réponse

Problème 2 :

Un calcul intelligent

Sachant que pour tout entier naturel non nul $n$,

$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$

Calcule la somme : $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\dfrac{1}{3\times 4}+\dfrac{1}{4\times 5}+\times\times\times+\dfrac{1}{2022\times 2023}$

Problème 3 :

Les aires

Les quatre cercles ont leurs centres alignés comme indiqué sur la figure.

Les petits cercles ont pour rayon $1\,cm$

Calcule l'aire de la partie coloriée.

Problème 4

Quelle puissance !!!

Si $3^{x-1}=4$, calcule $9^{2x-1}$

Problème 5 :

La droite graduée

Les points $M$, $N$, $P$ et $O$ sont sur une droite graduée tels que $MN=7\,cm$ $NP=5\,cm$

$NP=5\,cm$, $PQ=8\,cm$ et $QM=6\,cm$

Combien mesure $QN$

Justifie ta réponse

Problème 6 :

Quand des entiers se suivent !!!

A partir de $1$, on écrit tous les nombres entiers naturels à la suite :

$12345678910111213\ldots\ldots\ldots$

Quel est le $1000^{\text{ème}}$ chiffre ?

Justifie ta réponse