Olympiades de mathématiques - $2019$

Test de présélection

Problème 1 :

L'étoile de matheux

Les nombres entiers de $1$ à $12$ doivent être placés dans les douze cases de l'étoile ci-dessous.

La position du nombre $12$ est donnée.

Les nombres écrits à l'extérieur de l'étoile sont les produits des nombres placés dans les cinq cases de l'étoile situées dans la direction de la flèche

1. Quelle est la seule case qui peut contenir le nombre $7$ ?

Justifier la réponse.

2. Quelles sont les cases possibles pour les nombres $5$ et $10$ ?

Justifier la réponse.

3. Placer les nombres $1$ et $9.$

Justifier la réponse.

4; Placer, sans justification, les autres nombres et reproduire l'étoile complétée sur la copie.

Problème 2 :

la ficelle coupée en deux

Une ficelle de longueur $L$ est coupée en deux morceaux ; avec l'un deux, on forme un cercle et avec l'autre un carré.

A quel endroit doit-on couper la ficelle pur que la somme des aires du disque et du carré soit minimale.

Problème 3 :

le pays des Olympiades

A Olympland il y a quatre villes $A$, $B$, $C$ et $D.$

Il existe $6$ routes directes de $A$ à $B$, $4$ de $B$ à $B$, $3$ de $A$ à $D$ et $2$ de $D$ à $C.$
 
Combien y-a-t-il d'itinéraires possibles de $A$ à $C$ (sans repasser deux fois par la même ville) ?

Problème : L'étoile du drapeau national

Calculer, en justifiant, la somme des angles
$\overbrace{A}$, $\overbrace{B}$ , $\overbrace{C}$, $\overbrace{D}$ et $\overbrace{E}$ de l'étoile ci-contre.

Problème 5 :

les nombres formidables !

On considère l'ensemble des nombres entiers strictement positifs.

On définit l'opération collage de deux nombres entiers $M$ et $N$ par $M\ast N=MN$

Ainsi $6\ast 4=64$

$35\ast 2=352$

$17\ast 35=1735$

Un entier $N$ est formidable si $N$ divise $M\ast N$ pour tout entier $M.$
$2$ est formidable !

1. $3$ est-il formidable ? justifier la réponse.

2. Combien y a-t-il de nombres formidables à un chiffre ?

Justifier la réponse.

3. Combien y a-t-il de nombres formidables inférieurs à 2019 ?

Justifier la réponse.