Composition standardisée de mathématiques 1 S1

Exercice 1 (3 points)

     1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
    
        a. \(\sqrt{2x^{2} - 3x - 2} = 2x^{2} - 3x - 1 \) $(1~\text{pt})$
        b. \(\sqrt{x^{2} - 3x + 2} \geq x + 3      \) $(1~\text{pt})$
    
    2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) suivant les valeurs de \(m\) : 
    \[
    (m^{2} - 1)(-2x^{2} + 3x - 1) < 0 \\ (1~\text{pt})
    \]

Exercice 2 (3 points)

On dit qu'un polynôme \(P(x)\) est Amarlen s'il vérifie 
\[
(x - 16)P(2x) = 16(x - 1)P(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}.
\]

   1.  Montrer que si \(P(x)\) est Amarlen alors il existe un polynôme \(Q(x)\) tel que
    \[
    P(x) = (x - 2)(x - 4)(x - 8)(x - 16)Q(x). \quad (1~\text{pt})
    \]
    2. En déduire tous les polynômes Amarlen de degré $4. \quad (0.75~\text{pt})$
   3.  On suppose que \(P(x)\) est Amarlen et \(P(2^{5}) = 0\).
    
       a.  Montrer que \(P(2^{6}) = P(2^{7}) = 0\). Quelle conjecture peut-on en tirer ? $\quad (1~\text{pt})$
        b. On suppose que cette conjecture est prouvée, que peut-on dire de \(P(x)\) ? \quad (0.25~\text{pt})
    

Exercice 3 (5 points)

Soit \(ABC\) un triangle, \(a, b > 0\). On appelle point de Dr FALL, le point \(G\) défini par
\[
G = \text{bary}\{(A,a);(B,a);(C,b)\}.
\]
    
    1.   a.  Justifier que \((A; \vec{AB}; \vec{AC})\) est un repère du plan. $\quad (0.25~\text{pt})$
     .   b. En utilisant ce repère, montrer que \((AC)\) et \((BG)\) sont sécantes. $\quad (1~\text{pt})$

  
    2. On note \(I\) point d'intersection de \((AC)\) et \((BG)\) et on admet que \((AB)\cap (CG) = \{J\}\) et \((BC)\cap (AG) = \{K\}\).    
       a.  Montrer que \(I = \text{bary}\{(A,a);(C,b)\}\); \(J\) est le milieu de \([AB]\) et \(K = \text{bary}\{(B,a);(C,b)\}\) $\quad (2.25~\text{pt})$
       b.  Montrer que \((AB) \parallel (IK)\). $\quad (0.5~\text{pt})$
    
   3.  On donne \(b = 2a\).
    
         a. Construire \(J\) et \(K\). \quad (0.5~\text{pt})
         b. En déduire la construction du point de Dr FALL. \quad (0.5~\text{pt})
    

Exercice 4 (3 points)

Soient \(A\) et \(B\) tels que \(AB = 2\ \text{cm}\) et l’application du plan \(\mathcal{P}\) dans \(\mathbb{R}\) :
\[
f: \mathcal{P} \to \mathbb{R}, \quad M \mapsto f(M) = \vec{AB} \cdot \vec{AM}.
\]

 1.   Soit \(k \in \mathbb{R}\).
       a.  Déterminer l’ensemble des points \(M\) de \(\mathcal{P}\) vérifiant \(f(M) = k\). $\quad (1~\text{pt})$
       b.  Que représente cet ensemble pour \(f\) ? Construisez-le pour \(k = 0\). $\quad (0.5~\text{pt})$
    
    2. \(f\) est-elle surjective ? injective ? (Justifier votre réponse : On pourra utiliser la question 1.) $\quad (1~\text{pt})$
    3. Quel est l’ensemble des points \(M\) de \(\mathcal{P}\) vérifiant \(f(M) > 0\) ? $\quad (0.5~\text{pt})$

Exercice 5 (6 points)

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB = a\) et \(AC = 2a\). Soit \(I\) le milieu de \([AC]\) et \(G\) le barycentre du système \(\{(A,3); (B,-2); (C,1)\}\).

 1.    Construire \(G\) puis déterminer la nature du quadrilatère \(ABIG\). $\quad (0.75~\text{pt})$
 2.    Exprimer \(GA\), \(GB\) et \(GC\) en fonction de \(a\). $\quad (0.75~\text{pt})$
 3.    Soit \(f: M \mapsto 3MA^{2} - 2MB^{2} + MC^{2}\)
    
       a.  Exprimer \(f(M)\) en fonction de \(MG\) et \(a\). $\quad (0.5~\text{pt})$
      b.   Déterminer et construire l’ensemble \((C)\) des points \(M\) tels que \(f(M) = 2a^{2}\). $\quad (1~\text{pt})$
    
  4.   Soit \(h: M \mapsto 3MA^{2} - 2MB^{2} - MC^{2}\)
    
     a.    Démontrer qu’il existe un vecteur \(\vec{U}\) non nul tel que \(h(M) = \vec{MB} \cdot \vec{U} - 2a^{2}\). $\quad (1~\text{pt})$
      b.  Soit \((\Delta)\) l’ensemble des points \(M\) tels que \(h(M) = -2a^{2}\). Vérifier que \(I\) et \(B\) appartiennent à \((\Delta)\) puis préciser la nature de \((\Delta)\). Construire \((\Delta)\). $\quad (1~\text{pt})$
    
 5.    \((\Delta)\) et \((C)\) sont sécants en deux points \(E\) et \(F\). Démontrer que \(GEC\) et \(GFC\) sont équilatéraux. $\quad (1~\text{pt})$