Devoir de mathématiques n°1 du premier semestre - 1er L -2024-2025

Exercice 1

A. Rappeler les règles d'opérations autorisées sur les lignes $L_{\mathrm{i}}$ d'un système linéaire, dans la méthode du pivot de Gauss, pour obtenir un système équivalent.

B. Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte.

1. Le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+y-5z&=&0\\ -10y+2z&=&20\\ 4z&=&0 \end{array}\right.\text{ a pour ensemble de solution }$

a. $S=\left\lbrace(0\ ;\ 0\ 0)\right\rbrace$

b. $S=\phi$

c. $S=\left\lbrace(1\ ;\ -2\ ;\ 0)\right\rbrace$

2.Le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&15\\ -x+y+2&=&0\\ 2x+y-z&=&8 \end{array}\right.\quad\text{ a pour ensemble de solution}$

a. $S=\left\lbrace O\ ;\ O)\right\rbrace$

b. $S=(-3\ ;\ 1)$

c. $S=(-2\ ;\ -1)$

3. Le demi-plan d'inéquation $2x-5y+9<0$ contient le point:

a. $S=(0\ ;\ 0)$

b. $S(-3\ ;\ 1)$

c. $S=(-2\ ; 1)$

4. Le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 5x-7y&>&-22\\ x+2y&<&-1 \end{array}\right.\quad \text{définit un ensemble qui contient :}$

a. $S=(1\ ;\ 1)$

b. $S=(-3\ ;\ 1)$

c. $S=(2\ ;\ -5)$

Exercice 2

1.Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les systèmes suivants :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x+4y-5&=&7\\ 3y-7z&=&1\\ 8z&=&16 \end{array}\right.$

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&2\\ 2x+3y+z&=&1\\ 4x-3y-3z&=&1 \end{array}\right.$