Devoir mathématique du 1er semestre 1er 2023-2024

Exercice 1

Partie 1 :

1. Rappeler la formule générale d'un trinôme du second degré et un polynôme de degré $3.$

2. Dans chacun des cas déterminer le discriminent du trinôme du second puis

factoriser $T$ si possible :

a. $T(x)=3x^{2}-4x+1$ ; 

b. $T(x)=x^{2}-4x+4$ ; 

c. $T(x)=x^{2}+4x+3$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

a. $3x^{2}-4x+1=0$ ; 

b. $x^{2}-4x+3\geq 0$

Partie II

1. Soit $P$ le polynôme définie par : $P(x)=2x^{3}-9x^{4}+6x^{2}-6x+7$

a. Montrer que $1$ est une racine de $f$

b. Donner une factorisation complète de $f$

(par méthode de la division euclidienne ou identification des coefficients)

c. Résoudre dans $\mathbb{R}$

$f(x)=0$ ; 

$f(x)\leq 0$

Exercice 2

1. On considère le système suivant :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x-2y-7z&=&20\\ 3x-y+3z&=&10\\ 2x-3y-z&=&3 \end{array}\right.$

Déterminer la valeur de l'inconnue telque $S=\left\lbrace(\ldots\ ;\ -1\ ;\ 2)\right\rbrace$ est solution du système ci-dessus.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ par la méthode du pivot de Gauss chacun des systèmes suivants : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-3z&=&2\\ 2x+3y-7z&=&5\\ -3x+2y+2z&=&-3 \end{array}\right.$

3. Résoudre le système d'inéquation suivant :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+3y&<&1\\ 4x-3y&<&2 \end{array}\right.$