Devoir départemental du première semestre - 1er L

Questions de cours

1. Donner les définitions de : monôme ; binôme ; trinôme et polynôme 

2. Soit $f(x)=ax^{2}+bx+c$ un trinôme du second degré

a. Donner la forme canonique de $f(x)$

b. Donner la forme factorisée de $f(x)$ dans le cas le discriminant $\Delta>0$

3. Application : donner la forme factorisée de $f(x)=3x^{2}-10x+3$

Exercice 1: 

I. Soit $P$ le polynôme défini par :

$P(x)=2x^{3}-11x^{2}+12x+9$

1. Calculer $P(3)$ puis montrer qu'il existe un polynôme $R$, dont on précisera le degré, tel que : $\forall x\in\mathbb{R}\;,P(x)=(x-3)R(x)$

2. Déterminer $R(x)$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$

a. $P(x)=0$

b. $P(x)\leq 0$

Soit $Q$ la fraction rationnelle définie par :

$Q(x)=\dfrac{P(x)}{x^{2}-9}$

1. Déterminer le domaine de définition $D_{Q}$ de $Q$

2. Simplifier $Q(x)$ dans $D_{Q}$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

a. $Q(x)=0$

b. $Q(x)\geq 0$

Exercice 2 : 

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ par la méthode de pivot de Gauss le système

suivant : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-3y+2z&=&1\\ 3x+2y+z&=&10\\ 5x+y-z&=&4 \end{array}\right.$

2. Fatou dispose d'une somme de $10200\,F$ CFA composée de pièces de $100\,F$, $200\,F$ et $500\,f$

Elle possède en tout $60$ pièces. 

Si le nombre de pièces de $100\,F$ est égal à la somme du nombre des pièces de $200\,F$ et de $500\,F$, déterminez alors le nombre de pièces de chaque sorte.

Soit le polynôme $P$ définie par : $P(x)=2x^{3}-13x^{2}+13+10$

1. Quel est le degré de $P$ ? Préciser son monôme dominant.

2.a. Calculer $P(2)$

Que peut - on en déduire ?

b. Factoriser $P(x)$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x)=0$

4. En déduire les solutions de $2(2x+3)^{3}+13(2x+3)+10=0$

5. Résoudre dans $\mathbb{R}$^l'inéquation $P(x)\leq 0$

Exercice 3

1. Rappeler la définition des expressions suivantes :

a. Fonction

b. Fonction paire

2. Quand dit-on que le point $I(a\ ;\ b)$ est centre de symétrie à $\left(C_{f}\right)$ ?

3. Quand dit-on que le point $Î(a\ ;\ b)$ est centre de symétrie à $\left(C_{f}\right)$ ?

4. Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :

a. $f(x)=3x^{2}-7x+4$

b. $f(x)=\dfrac{2x+3}{x+2}$

c. $f(x)=\dfrac{4x^{2}+3x+1}{10x^{2}+7x+1}$

5. Soit $f(x)=\dfrac{3x^{2}+1}{x^{2}-1}$ 

Étudier la parité de $f$