Évaluation harmonise du premier semestre 1er S1

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

a. $\sqrt{x^{2}-3}$

b. $\sqrt{x-1}=\sqrt{x^{2}-x-1}$

c. $\sqrt{x+2}=\sqrt{2x-5}$

d. $\sqrt{1-x}=\sqrt{1-x^{2}}\leq 0$

2. On considère le polynôme $P(x)à=x^{3}-6x^{2}+11x-6$

Calculer $P(1)$ puis résoudre dans $\mathbb{R}\;,P(x)=0$

3. Soit le système : $(S)\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&6\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}&=&14\\ xyz&=&6
\end{array}\right.$ a. Montrer que $(S)$ est équivalent au système

$\left(S'\right)\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&6\\ xy+yz+xz&=&11\\ xyz&=&6 \end{array}\right.$

b. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système $\left(S'\right)$

Soit $P$ un polynôme de degré $2021$.

On suppose que pour tout entier$$P(n)=\dfrac{n}{n+1}$$

Pour tout réel $x$, on pose $S(x)=(x+1)(P(x)-x$

1. Quel est le degré du polynôme $S(x)$

2. Calculer, pour tout entier $n$ tel que $0\leq n\leq 2021$, le réel $S(n)$

3. En déduire qu'il existe un réel $a\neq 0$ tel que,

$\forall x\in\mathbb{R}\;, S(x)=ax(x-1)(x-2)\ldots\ldots\ldots(x-2021)$

4. En déduire $P(2022)$ en fonction de $\alpha$

Poser : $2022\times 2021\times 2020\times 2019\times \ldots\ldots\times 2\times 1=2022$!(lire factoriel n)

5. En calculant $S(-1)$, déterminer la valeur de réel $P(2022)$

Exercice 3

Pour cet exercice, vous avez la possibilité de faire une figure pour chaque sous partie.

Bon courage !

Application de cours sur barycentre et produit scalaire

Soit $ABC$ un triangle.

On désigne par $a$, $b$ et $c$ les longueurs des côtés respectifs de $[BC]$, $[AC]$, et $[AB]$ ainsi que $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ mesure des angles $\overbrace{A}$, $\overbrace{B}$ et $\overbrace{C}$

1. Centre de gravité : Soient $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs des segment $[AB]$, $[BC]$ et $[AC]$

a. Montrer que les médianes du triangle $ABC$ sont concourantes en un point $G$ et exprimer les coordonnées barycentrique.

(On pourra utiliser $G=\text{bar}\left\lbrace(A\ ;\ 1)\ ;\ (B\ ;\ 1)\ ;\ (C\ ;\ 1)\right\lbrace)$

b. Montrer que $GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}=\dfrac{1}{3}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$

b. On pourra utiliser la propriété métrique de la médiane : $OA^{2}+OB^{2}=2OI^{2}+\dfrac{AB^{2}}{2}$ pour tout point $O$ du plan.

c. Déterminer l'ensemble des points $\Gamma$ du plan tel que : $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

d. Déterminer et construire $\Gamma$ dans lorsque $ABC$ est un triangle équilatéral

a. Montrer que les hauteurs sont concourantes en un point $H$ et exprimer les coordonnées barycentriques.

$\text{(On pourra utiliser }H=\text{bar}\left\lbrace(A\ ;\ \tan\alpha)\;,(B\ ;\ \tan\beta)\;,(A\ ;\ \tan\gamma)\right\lbrace$

b. On désigne par $H$ l'orthocentre du triangle $ABC$, montrer que $\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HC}\cdot \overrightarrow{HA}$ est l'orthocentre du triangle $ABC$

c. Réciproquement, montrer que si $M$ est un point du plan tel que : $\overbrace{MA}\cdot\overbrace{MB}=\overbrace{MB}\cdot\overbrace{MC}=\overbrace{MC}\cdot\overbrace{MA}$ alors $M$ est l'orthocentre du triangle $ABC$

d. Montrer $AB^{2}-AC^{2}=HB^{2}-HC^{2}$

e. Qu'en est il de $BA^{2}-BC^{2}$ et $CA^{2}-CB^{2}$

Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle tel que : $AB=6$, $AC=8$ et $C\widehat{A}B+\dfrac{\pi}{3}$

1.a. Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$

b. En déduire que $BC=2\sqrt{13}$

2. Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(AC)$

a. Montrer que $AH=3$ et vérifier que $H$ est le barycentre des points $A$ et $C$affectés de coefficients que l'on précisera. 

b. Montrer que pour tout $M$ du plan vérifiant :
$5MA^{2}+3MC^{2}=8MH^{2}+120$

3.a. Déterminer l'ensemble $(C)$ des points $M$ du plan vérifiant : $5MA^{2}+3MC^{2}+336$

b. Vérifier que $B\in(C)$ et construire $(C)$

4. Soient les points, $I$ milieu de $[AC]$ et $E$ défini par : $\overrightarrow{BE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$

a. Montrer que $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}=-12$

b. Montrer que $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BE}=39$ ; 

$\overrightarrow{CI}\cdot\overrightarrow{AB}=-12$ et $\overrightarrow{CI}\cdot\overrightarrow{BE}=-15$

c. En déduire que les droites $(BI)$ et $(AE)$ sont perpendiculaires.