Contrôle continu n° du premier semestre - 1er S1

Exercice 1

Soit $f$ l'application définie par : $f\ :\ ]2\ ;\ +\infty[\mapsto \mathbb{R}\\ x\mapsto \dfrac{x^{2}}{1-x}$

1. Montrer que $f$ est injective

2. Montrer que $\left(\forall x\in\left]2\ ;\ \infty\right[\right)\;,f(x)< -4$

3. $f$ est-elle surjective ?

4. Soit $g$ l'application définie par 

$g\ :\ ]2\ ;\ +\infty(\mapsto]-\infty\ ;\ -4[\\ x\mapsto \dfrac{x^{2}}{1-x}$

(a) Montrer que $g$ est bijective.

Déterminer $g^{-1}(x)$ pour tout $x\in]-\infty\ ;\ -4[$

(b) Soit $a\in]-\infty\ ;\ -4[$

Calculer en fonction de $a\ :\ \dfrac{\left(g^{-1}(a)\right)^{2}}{1-g^{-1}(a)}$

5. Soit $h$ l'application définie par : $h\ :\ [-1\ ;\ 0]\mapsto [1\ ;\ 2]\\ x\mapsto 2\sqrt{x+1}-x$

(a) Vérifier que : $\left(\forall \in[-1\ ;\ 0]\right)f(x)=2-\left(\sqrt{x+1}-1\right)^{2}$

(b) $h$ est-elle bijective

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle isocèle et $I$ milieu de $[AB]$ tel que $AB=AC=5$ et $BC=6$

1. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$

2.(a) Construire le barycentre $G$  des points pondérés $(A\ ;\ 2)$, $(B\ ;\ 3)$ et $(C\ ;\ 3)$

b. Montrer que $(AG)$ est la médiatrice de $[BC]$

c. Calculer $AG$

3. Soit $f$ l'application du plan dans lui même qui a tout point $M$ associe le points $M'$ tels que :

$2\overrightarrow{MM'}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}$

Montre que $G$ appartient à la droite $\left(MM'\right)$

4. Soit $(E)=\left\lbrace M\in(\mathcal{P})2MA^{2}+3MA^{2}+3MB^{2}+3MC^{2}=150\right\rbrace$

a. Montrer que pour tout point $B$ du plan : $2MA^{2}+3MB^{2}+3MC^{2}+8MG^{2}+2GA^{2}+3GB^{2}
+3GC^{2}$

(b). En utilisant le théorème de la médiane calculer $GB^{2}+GC^{2}$

(c) Déduire de $.(c)$ et $3.(b)$ la nature $(E)$ puis construire

Exercice 3

Dans un plan $P$ rapporté à un repère orthonormé $R=\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$, On considère les points $A(-2\ ; \ 1)$, $B(-1\ ;\ 2)$ et $C(1\ ;\ 4)$

Soit $K$ milieu de $[BC]$

Soit $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ définie par : $\Gamma=\left\lbrace M\in P\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{MC}\right\rbrace$

1.(a) Montrer que $M(x\ ;\ y)\in\Gamma \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$

b. En déduire que $\Gamma$ est un cercle dont on précisera les caractéristiques

(c) Vérifier que $\Gamma$ passe par $A$

Tracer $\Gamma$

2. Soit la droite $(T) : x+y-3=0$

Montrer que $(T)$ est tangente à $\Gamma)$ en $K$

3. Soit $H(x\ ;\ y)$ e projeté orthogonal de $O$ sur la droite $(T)$

En tenant compte que $\overrightarrow{OH}$ est un vecteur normal à $T$ et que $H$ appartient à $T$, déterminer les coordonnées de $H$