Évaluation standardisé n°01 du première semestre 1er S

Exercice 1

1. Soit $f(x)=(m-1)x^{2}+(m-1)x+m+1$ avec $m$ est un paramètre réel.

a. Étudier le signe de $(m-1)f(1)$ et de $(m-1)f(2)$ suivant les valeurs de $m$

b. En déduire les valeurs de $m$ pour que $f(x)=0$ ait deux solution $x_{1}$ et $x_{2}$ vérifiant:

$1<x_{1}<2<x_{2}$ 

$\left|\left(x_{1}\right)^{2}-\left(x_{2}\right)^{2}\right|=4$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations ci-dessous : $E(x)$ désigne la partie entière de $x$

a. $\sqrt{2x^{2}-x-1}=x-m(m\text{ est un paramétre réel })$

b. $E(2x-1)=E(x+5)$

Exercice 2

Soit $P$ un polynôme de degré au moins égal à $4$

$\bullet\ $Lorsqu'on divise $P(x)$ par $x^{2}+3x$, le reste de cette division est $2x+1$

$\bullet\ $Lorsqu'on divise $P(x)$ par $x^{2}-3x+2$, le reste de cette division est $x+4$

Soit $R(x)$ le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $\left(x^{2}+3x\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$

1. Montrer qui $P(O)=R(O)$ puis en déduire que $R(x)$ n'est pas un polynôme nul

2. Calculer $P(-3)$ puis justifier que $R(x)$ n'est pas un polynôme constant

3. Calculer $P(1)$ puis justifier que $R(x)$ n'est pas un polynôme de degré $1$

4. Calculer $P(x)$ puis justifier que $R(x)$ n'est pas un polynôme de degré $2$

5.a. Montrer que $d^{\circ}(R)=3$

b. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ par la méthode du pivot de Gauss le système :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&4\\ 8x+4y+2z&=&5\\ 9x-3y+z&=&2 \end{array}\right.$

c. En déduire une expression de $R(x)$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie par :

$f\ :\ \mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\\ x\mapsto f(x)=x-\sqrt{x}$

1. Justifier que $f$ est une application

2. Montrer que $f$ n'est pas injective 

3.a. Résoudre dans $\mathbb{R}^{+}$ l'équation : $f(x)=-1$

Que peut-on conclure ?

4. Soit à la restriction de $f$ à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{4}\ ;\ +\infty\right[$

a. Montrer que $h$ est bijective de $\left[\dfrac{1}{4}\ ;\ +\infty\right[$ vers un intervalle $J$ à déterminer 

b. Expliciter sa bijection réciproque $h^{-1}$

Exercice 4

Soit $A$, $B$, $C$ trois non alignés du plan 

$A'=\bar{(B\;,b)\ ;\ C\;,-c)}$

$B'=\bar{(A\;,-a)\ ;\ (C\;,c)}$

$C'=\bar{(A\;,a)\ ;\ (B\;,-b)}$

1. Dans cette partie on suppose que : $a=1$, $b=2$ et $c=3$

Démontrer que le points $A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés 

2. Dans la suite $a$, $b$ et $c$ sont quelconques et vérifient les conditions d'existences de ces barycentres

a. Démontrer que, pour tout $M$ du plan : $(b-c)\overrightarrow{MA'}=b\overrightarrow{MB}=c\overrightarrow{MC}$

b. En déduire que, pour tout point $M$ du plan : $(b-c)\overrightarrow{MA'}+(c-a)\overrightarrow{MB'}+(a-b)\overrightarrow{MC'}=\overrightarrow{o}$

c. En déduire que $B'=\bar{A'\;,b-c)\ ;\ (C'\;,a-b)}$