Devoir surveillé n°2 de mathématiques du 1er semestre 1er S1

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes

1. $\sqrt{5x-1}+\sqrt{3-x}=2+\sqrt{2}$

2. $3x^{2}+4x+\sqrt{3x^{2}+4x+5}=7(\text{ on pourra poser }X=3x^{2}+4x)$

3. $\sqrt{4x^{2}-mx+1}=2x-m$

4. $\sqrt{x^{2}+2x+1}<2x+1$

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle tel que $BC=a$ ; $AC=b$ et $AB=c$

On note $P$ son demi-périmètre et $S$ son aire

1. Énoncer le théorème d'Alkashi et le théorème des Sinus

2. Exprimer $\cos\overbrace{A}$ en fonction de $a$, $b$ et $c$ 

3. Montrer que $S=\dfrac{1}{2}bc\sin\overbrace{A}$

En déduire une expression de $S^{2}$ en fonction de $a$, $b$ et $c$

4. Démontrer que $S=\sqrt{\mathcal{p}(\mathcal{p}-a)(\mathcal{p}-b)(\mathcal{p}-c)}$

5. Soit $r$ le rayon du cercle inscrit au triangle $ABC$

Montrer que $S=\dfrac{1}{2}(a+b+c)r$

Exercice 3

1. Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan.

Soit $\overrightarrow{w}$ vecteur du plan orthogonal à la fois à $\overrightarrow{u}$ et à $\overrightarrow{v}$

(a) Justifier que $\left(\overrightarrow{u}\;,\overrightarrow{v}\right)$ est une base du plan.

(b) Soit $\overrightarrow{w}(x\ ;\ y)$ dans la base $\left(\overrightarrow{u}\;,\overrightarrow{v}\right)$ 

Calculer $\overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{w}$ 

En déduire que $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{O}$

2. Soit $ABC$ un triangle non équilatéral.

$H$ l'orthocentre et $O$ le centre du cercle circonscrit.

On pose $\overrightarrow{W}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OH}$

(a) En remarquant que $\overrightarrow{W}\cdot\overrightarrow{AB}=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{HC}\right)\cdot\overrightarrow{AB}$, montrer que $\overrightarrow{W}\cdot\overrightarrow{AB}=O$

(b) Démontrer que $\overrightarrow{W}\cdot\overrightarrow{BC}=O$ et que $\overrightarrow{W}\cdot\overrightarrow{CA}=O$
(c) En déduire que $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

3. Soit $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$

(a) Montrer que les points $O$, $G$ et $H$ sont alignés.

b. Comment appelle-t-on la droite passant par les points $O$, $G$ et $H$ ?

Exercice 4

Dans la figure ci-contre, $ABC$ est un triangle équilatéral de côté $2$ et $ACD$ un triangle isocèle rectangle en $A$ 

Le point $E$ est le projeté orthogonal de $D$ sur la droite $(BC)$

NB : On donne $\cos\left(150^{\circ}\right)=\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

1.a. Montrer que $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=-2\sqrt{3}$

b. Montrer que $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}$

c. Montrer alors que $\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}==2\left(1-\sqrt{3}\right)$

d. En déduire que $CE=\sqrt{3}-1$

e. Montrer que $DE=\sqrt{3}+1$

2. Soit $O$ le milieu du segment $[BC]$ et $F$ le point du segment $[OA]$ tel que $OF=1$

a. Déterminer les coordonnées des points $A$, $B$, $E$ et $D$ dans le repère $\left(O\;,\overrightarrow{OF}\;,\overrightarrow{OC}\right)$

b. Montrer que les droites $(AE)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires 

3. Soit $(\Delta)=\left\lbrace M\in\mathcal{P}\text{ tel que :}MC^{2}-MB^{2}=-4\sqrt{3}\right\rbrace$

a. $(\Gamma)$ passe-t-il par le point $E$ ? 

Justifier votre réponse

b. Déterminer la nature et éléments caractéristiques de $(\Gamma)$

c. Construire alors $(\Gamma)$

d. Déterminer l'équation cartésienne de $(\Gamma)$

5. Déterminer la position relative de $(\Gamma)$ et $(\Delta)$

Bonus 

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ on considère  les points $A(4\ ;\ O)$, $B\left(2\ ;\ 2\sqrt{3}\right)$ et $C(0\ ;\ -4)$

Démontrer que $\cos\overbrace{ACB}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

En déduire la mesure de l'angle $\overbrace{ACB}$