Devoir de mathématiques harmonise du premier semestre 1er S1

Exercice 1

Soit l'équation $(E)$ $(m+3)x^{2}-(3m+1)x+2m-1=0\;,m\in\mathbb{R}$

1. Discuter suivant les valeurs de $m$ l'existence et le signe des racines de $(E)$

2. Trouver tous les réels $m$ pour que notant $x_{1}$ et $x_{2}$ $\left(x_{1}< x_{2}\right)$

a. $x_{1}< -1< x_{2}$

b. $x_{1}< x_{2}< 0$

c. $x_{1}< -1<x_{2}<0$

3. Trouver une relation indépendante de $m$ liant les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ 

Déduire cette relation les solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ tel que $x_{2}=2x_{1}$

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes !

a. $3+\sqrt{2x^{2}-4x+9}=2x$ ; 

b. $\sqrt{-4x^{2}+x+5}\leq 2x+2$

Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ par la méthode du pivot de Gauss le système d'équations suivant :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x+y+z&=&1\\ -x+3y+z&=&\dfrac{11}{3}\\ x-y+3z&=&\dfrac{7}{3}
\end{array}\right.$

Exercice 2

1. Soit $P(x)=nx^{n+1}-(n+1)x^{n+1}$

Montrer qu'il existe  un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1)^{2}Q(x)$

2. Montrer que si l'équation $x^{3}+px+q=O$ admet $3$ racines $a$, $n$ et $c$ alors $a+b+c=O$

3. Démontrer que $(x+1)^{2n}-x^{2n}-2x-1$ est divisible par $x(x+1)(2x+1)$

Déterminer le quotient pour $n=2$

4. Démontrer que $\forall n$ impair l'expression $(x+y+z)^{n}-x^{n}-y^{n}+z^{n}$ est divisible par 

$(x+y)(x+z)(y+z)$

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie par : 

$f\ :\ \mathbb{R}^{+}\mathbb{R}\\ x\mapsto f(x)=x-\sqrt{x}$

1. Justifier que $f$ est une application

2. $f$ est-elle injective ?

3. Résoudre dans $\mathbb{R}^{+}$  l'équation $f(x)=-1$

Que peut-on conclure ?

4. Soit $h$ est bijective de $\left[\dfrac{1}{4}\ ;\ +\infty\right[$

a. Montrer que $h$ est bijective de $\left[\dfrac{1}{4}\ ;\ +\infty\right[$ vers un intervalle $J$ à déterminer.

b. Expliquer sa bijection réciproque $h^{-1}$

Exercice 4

Soit $ABDC$ un trapèze isocèle du plan $P$ tel que$AD=BC$ 

On appelle $G$ et $G'$ les barycentres respectifs des systèmes de points pondérés :

$\left\lbrace(A\;,1)\;,(B\;,2)\right\rbrace$ et $\left\lbrace(C\;,2)\;,(D\;,1)\right\rbrace$

Soit $K$ le point du plan tel que : $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+4\overrightarrow{KC}+2\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{O}$

1.a. Montrer que les poins $G$, $G'$ et $K$ sont alignés

b. Préciser la position de $K$ sur la droite $\left(GG'\right)$

Construire $G$, $G'$ et $K$

2. Déterminer puis construire l'ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que :

$\left|\left|3\overrightarrow{MA}+6\overrightarrow{MB}\right|\right|=\left|\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MD}\right|\right|$

3. Soit $H$ le barycentre des points pondérés $(A\;,1)$, $(B\;,2)$, $(C\;,1)$ et $(D\;,2)$ et $H'$ celui des points pondérés $(A\;,2)$, $(B\;,1)$, $(C\;,2)$ et $(D\;,1)$

a. Construire $H$ et $H'$

b. Montrer que $\left(HH'\right)$ et $(AB)$ sont parallèles.