Composition du premier semestre - 1er S1

Exercice 1

$ABC$ est un triangle du plan tel que : $AB=4\,cm$, $AB=4\,cm$, $AC=5\,cm$ et $\cos\left(\overbrace{A}\right)=\dfrac{3}{5}$

1. Construire le triangle $ABC$ sans chercher une valeur approché de l'angle $\overbrace{BAC}$ et expliquer le méthode utilisée

2. $A'$ est le milieu de $[BC]$ et $I$ est le barycentre des points pondérés $(A\;,2)$, $(B\;,-1)$ et $(C\;,1)$

a. Démontrer que $AA'CI$ est un parallélogramme

b. Définir $I$ comme barycentre des points $A$, $A'$ et $C$ affectés des coefficients dont la somme est $1$

3. Calculer $BC$, $AA'$, $\cos\left(\overbrace{ACB}\right)$ et $IC$ 

4. Déterminer et construire :

a. L'ensemble $E_{1}$ des points $M$ du plan tels que : $\dfrac{MA}{MB}=2$

b. L'ensemble $E_{2}$ des points $M$ du pan tels que : $\overrightarrow{AB}\cdot\left(2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right) = -16$

5. Pour tout point $M$ du plan, on pose $f(M)=\overrightarrow{CM}\cdot \left(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\rightarrow\right)$

a. Calculer $f(A)$, $f(B)$, $f(C)$ et $f(I)$

b. Déterminer pour tout réel $k$, la ligne de niveau $k$ de $f$

c. Construire la ligne de niveau passant par $A$

Exercice 2

Une chaine de vélo s'enroule  autour d'un pigeon $(P)$ de centre $O$ et de rayon $r$ et d'un pédalier $\left(P'\right)$ de centre $O'$ et de rayon $r'$

On pose : $OO'=d$

Soit $\alpha$ la mesure de l'angle que fait $\left(OO'\right)$ avec $\left(AA'\right)$, tangente commune extérieure a $(P)$ et $(P')$

1. Montrer que : $\sin\alpha=\dfrac{r'-r}{\alpha}$

2. Expliquer $\cos 2\alpha$ en fonction de $\sin\alpha$ et déduire que $\cos 2\alpha=\dfrac{d^{2}-2\left(r'-r\right)^{2}}{d^{2}}$

3. On se propose de calculer la longueur $L$ de la chaîne. 

Soit $A$ et $B$ (respectivement
$A'$ et $B'$ les points de contact de la chaîne avec $(P)$ (respectivement $(p')$).

a. Montrer que $AA'=d\cos\alpha$

b. Montrer que : $\overbrace{AOB}=\overbrace{A'O'B'}=\pi-2\alpha$

c. En déduire, en fonction de $\alpha$, $r$, la longueur de l'arc $\overbrace{AB}$ puis montrer que $\overbrace{A'B'}=r'\left(\pi+2\alpha\right)$ où la chaîne est en contact avec $(P)$ et $(P')$

d. Montrer que : $L=2d\cos\alpha+\pi\left(r'+r\right)+2\alpha\left(r'-r\right)$

4. Application : $r=5\,cm$, $r'=10\,cm$ et $d=45\,cm$

Calculer une valeur approchée a $10^{-2}$ de $\alpha$ et $L$

Exercice 3

1. Calculer les limites suivantes

a. $\lim\limits_{x\longrightarrow o}\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+4}}$

b. $\lim\limits_{x\longrightarrow}\dfrac{^{3}\sqrt{x}-2}{^{3}\sqrt{x+19}-3}$

c. $\lim\limits_{x\longrightarrow o}\dfrac{x(1-\cos x)}{\sin 3x-3\sin x}$

d. $\lim\limits_{x\rightarrow \dfrac{\pi}{3}}\dfrac{\tan x\tan\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos x}$

e. $\lim\limits_{x\longrightarrow 3}\dfrac{2-\sqrt{x^{2}-4x+8}}{x-2}\sin\left(\dfrac{1}{x-2}\right)$

f. $\lim\limits_{x\longrightarrow o}\sin\left[xE\left(\dfrac{\pi}{x}\right)\right]$

2. On considère les fonctions $f_{m}$ et $g_{m}$ par : $g_{m}(x)=\dfrac{\left(m^{2}-m\right)x^{2}+2mx+1}{(m-1)x^{2}+x-2}$ et $f_{m}(x)=\sqrt{x^{2}+x+1}-mx$

Discuter suivant les valeurs du paramètre la limite en $+\infty$ et $-\infty$ de $f_{m}$ et $g_{m}$