Évaluation standardise du première semestre 1er S1

Exercice 1

Soit $\rho(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a$ avec $ab$ et $c$ trois réels non nuls.

1. Montrer que $O$ n'est pas racine de $\rho(x)$

2. Montrer que si $a$ est le racine alors $\dfrac{1}{a}$ l'est aussi

3. Soit $x\neq O$ on pose $y=x+\dfrac{1}{x}$

a. Exprimer $y^{2}$ en fonction de $x$ et en fonction de $x$ et en déduire $\dfrac{\rho(x)}{x^{2}}$ en fonction de $a$, $b$, $c$ et $y^{2}$

b. Montrer que résoudre l'équation $\rho(x)=O$ revient à résoudre successivement deux équations du second degré

c. Montrer que si $b^{2}4a(c-2a)$ alors l'équation $\rho(x)=0$ n'admet pas de solution

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^{4}-x^{3}-10x^{2}-x+1=O$

Exercice 2

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

a. $\sqrt{2x^{2}+7x+6}> x+3$

b. $\sqrt{x^{2}-1}-(2-x)\leq O$

2. On considère l'équation dans $\mathbb{R}$ : $x^{2}-x+\sqrt{x^{2}-x+4}=8$

a. Montrer que $\left(E_{1}\right)\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{rcl}
y&=&\sqrt{x^{2}-x+4}\\
y^{2}+y-12&=&O\left(E_{2}\right)
\end{array}\right.$

b. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\left(E_{2}\right)$ puis en déduire les solutions de l'équation $\left(E_{2}\right)$

Exercice 3

Soit $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ un repère orthonormal du plan.

On considère les points $A(1\ ;\ 0)$, $B(1+\sqrt{3}\ ;\ 1)$ et $C\left (3\ ;\ 2\sqrt{3}\right)$

1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ ; en déduire la mesure en degré de l'angle géométrique $\theta=\overbrace{BAC}$

2.a. Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ du plan vérifiant $\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$

b. Montrer que le point $A\in(E)$ et construire $(E)$

3. Soit $I$ le milieu de $[AB]$

a. Écrire une condition pour que le point $M$ appartienne à la médiatrice $(D)$ de $[AB]$

b. En déduire l'équation cartésienne de cette droite.

4. Calculer la distance du point $E(1\ ;\ 3)$ à la droite $(D)$

Exercice 4

1. Vérifier que : $\sqrt{3+2\sqrt{2}=1+\sqrt{2}}$ puis résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $2x^{2}+\left(1-\sqrt{2}\right)\cos x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}0$

3. Représenter sur le cercle trigonométrique, les images des solutions de l'équation $(E)$

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(I)2x^{2}+(1-\sqrt{2}x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}>O$

Exercice 5

1. Résoudre et discuter l'équation $\dfrac{x^{2}-3}{2x^{2}+1}=y$ ; où y est un réel donné.

2. En déduire deux partie $E$ et $F$ et $\mathbb{R}$ les plus grandes possibles telles que la fonction : 

$f\ :\ E\rightarrow F\\
c\mapsto \dfrac{x^{2}-3}{2x^{2}+1}$, soit une bijection

3. Déterminer $f^{-1}$ la bijection réciproque de $f$