Évaluation à épreuves standardise -1er S1

Exercice 1

Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :

a. $f(x)=\sqrt{\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}}$

b. $f(x)=\sqrt{x+2-\sqrt{x^{2}-3x+1}}$

c. $f(x)=\dfrac{\sqrt{3x^{2}+1}+5x}{3x-1}$

d. $f(x)=\dfrac{\sqrt{3x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}+1}}$

e. $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x^{2}-3x+1}}{2x+\sqrt{4x^{2}+x}}$

Exercice 2

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

1. Calculer la distance du point $A$ à la droite $(D)$ dans les cas suivants

a. $(D)\ :\ y=-3x+4$ et $A(3\;,-1)$

b. $(D)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&-2+3t\\ y&=&1-4t\end{array}\right.\quad\text{ et }A\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}$

2. $m$ étant un paramètre réel et soit $\left(D_{m}\right)\ :\ mx-(2m+1)y+m-3=O$

a. Calculer la distance $d(m)$ du point $A(1\;,1)$ à $\left(D_{m}\right)$ ; 

b. Déterminer $\left(D_{m}\right)$ sachant que $d(m)=1$

Exercice 3

A. Les restes de la division euclidienne d'un polynôme $P(x)$ par $x-I$ et par $x-2$ sont
respectivement $6$ et $18$

Déterminer le polynôme reste d la division de $P(x)$ par $(x-1°£5X-2)$

B. On considère l'équation $(E)\ :\ x(x+1)(x+2)(x+3)+1=m$, dans laquelle $x$ est l'inconnue et $m$ un paramètre

1. Montrer que par un changement d(inconnu $X=x^{2}+3x+1$, l'équation se ramène à la forme simple $X^{2}=m$

2. Résoudre l'équation pour $m=9$

C. Soit l'équation $x^{2}-2mx+3m-2=0$ admettant deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$

Déterminer $m$ tel que l'on ait $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}\times x_{2}+4$

D. Soit $f$ une fonction numérique définie sur un domaine $D_{f}$ symétrique par rapport à l'origine $0$

On pose $h(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$ et $k(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$

Étudier la parité de $h$ et $k$

E. On donne $f(x)=\sqrt{5-x}-\sqrt{x-1}$

Montrer que le point $A(3\ ;\ O)$ est centre de symétrique de $\left(C_{f}\right)$

F. Résoudre le système suivant $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+3y-2z&=&2\\ 2x-y+5z&=&15\\ -3x+2y+z&=&-5
\end{array}\right.$

Exercice 4

1. Soit $f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{+}\\
x\mapsto\dfrac{x}{1|x|}$

a. Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}\left|(x)\right|<1$

b. $f$ est-elle surjective ?

c. Montrer que $f$ est injective

2. Soit $h$ et $g$ les applications de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définies par : $h(x)=x^{3}-3x^{2}+x+2$ et $g(x)=x^{2}-x$

a. Calculer $hog(x)$

En déduire la résolution de $x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-2x^{2}-x+2=O$

b. Soit $k\ :\ \left[\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[\rightarrow\left[-\dfrac{1}{4}\ ;\ +\infty\right[$
$$x\mapsto g(x)$$

Montrer que $k$ est bijective et  déterminer $k^{-1}(x)$

Exercice  5

Sans le plan $(P)$ on considère d'un triangle équilatéral $ABC$

On pose $AB=a$, $a>O$

Soit $I$ le point du plan défini par $\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{CB}$

1. Construire le point $I$ puis exprimer $IA^{2}$, $IB^{2}$ et $IC^{2}$ en fonction de $\alpha$

2. Trouver un triplet $\left(\alpha\;,\beta\;,\lambda\right)$ réels tels que $I$ soit le barycentre de $\left(A\;,\alpha\right)$, $\left(B\;,\beta\right)$ et $\left(C\;,\lambda\right)$

3. $k$ étant un réel donné Déterminer l'ensemble $\left(\Gamma)\right)$ des points $M$ du plan tels que $MA^{2}+2MB^{2}-2MC^{2}=K\alpha^{2}$

4. Peut-on trouver un réel $k$ tel que le point $B$ élément de $(\Gamma)$ ?