Composition du premier semestre 1er S1

Exercice 1

a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et l'inéquation suivantes :

a. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$

b. $\sqrt{2x^{2}+5x-7}\geq x-1$

2. Soit $P$ un polynôme de degré $n$ avec $n\leq 3$, divisible par $(x-1)$ et ayant le même reste, le réel $r$ dans les divisions euclidiennes par $(x-2)$ ; $(x-3)$ et $(x-4)$

a. Montrer qu'il existe une constante $\lambda$ telles que $r=6\lambda$

b. En déduire que $P(x)=\lambda(x-1)\left(x^{2}-8x+18\right)$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-3y+z&=&5\\ x-y+3z&=&\dfrac{9}{2}\\
-3x+y+2z&=&-\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$

Exercice 2

Soit $f$ l'application de $D=\left]\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ vers $\mathbb{R}$ définies par $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{2x-1}}$

1. Résoudre dans $D$ l'équation $f(x)=\sqrt{2}$   $f$ est-elle injective ?

$\left(\sqrt{2x-1}-1\right)^{2}$ en déduire que $f(x)\geq 1\forall x_in\mathbb{D}$

$f$ est-elle surjective ?

Soit $g$ la restriction de $f$ sur $I=\left]1\ ;\ +\infty\right[$

a. Développer $\left(2x_{1}-1\right)\left(x_{2}-\dfrac{1}{2}\right)$ et montrer que pour tout

$\left(x_{1}\ ;\ x_{2}\right)\in I^{2}\;,2x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}$

b. Montrer $g$ est injective sur $i$

c. Montrer lorsque $m\in\left]1\ ;\ +\infty\right[$ l'équation $x^{2}-2m^{2}x+m^{2}=O$ admet deux racines distinctes.

Étudier la position relative de $1$ par rapport aux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ 

d. En déduire que $g$ est bijectives de $I$ vers $I$

Définir sa bijection réciproque $g^{-1}$

Exercice 3

Soit $ABC$ un triangle isocèle tel que $AB=AC=5$ et $BC=6$

On désigne par $I$ le milieu de $[BC]$ et par $G$ le barycentre de $\left\lbrace(A\ ;\ 2)\;,(B\ ;\ 3)\;,(C\ ;\ 3)\right\rbrace$

1. Démontre que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left[AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}\right]$

En déduire que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=7$

2. Démontrer que $AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+\dfrac{BC^{2}}{2}$

En déduire que $AI=4$

3. Soit $D$ un point du plan distincts des points $A$, $B$ et $C$

Démontrer que 

$AB^{2}+BC^{2}-BC^{2}-AD^{2}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=O$ puis en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ soient perpendiculaires

4. Soit $I$ le milieu de $[BC]$ et $G$ le barycentre de $\left\lbrace(A\ ; 2), (B\ ;\ 3), (C\ ;\ 3)\right\rbrace$

Montrer que $G$ est barycentre de $\left\lbrace(A\ ;\ 2) ; (I\ ;\ 6)\right\rbrace $ et construire $G$ puis vérifier que $AG=3$

5. Soit $f$ l'application du plan qui à tout point $M$ du plan associe $f(M)$ définie par : 
$f(M)=2\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$

a. Monter que $f(M)=f(G)+4MG^{2}$ puis calculer $f(A)$ et $f(G)$

b. Déterminer et représenter  l'ensemble $(Q)$ des points $M$ du plan vérifiant $f(M)=f(A)$

c. Déterminer et représenter l'ensemble $\left(Q'\right)$ des points $M$ du plan vérifiant $3+f(G)\leq f(M)\leq 16+f(G)$

Exercice 4

Soit dans le plan $P$, un triangle $ABC$ rectangle en $A$

On pose $BC=a$ ; $AC=b$ ; $AB=c$

1. Soit $H$ le pied de la hauteur,issue de $A$ dans $ABC$

a. Montrer que l'on a : $b^{2}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{BC}$, $c^{2}=\overrightarrow{HC}\cdot \overrightarrow{CB}$

b. En orientant la droite $(BC)$, monter que $b^{2}\overrightarrow{HB}+c^{2}\overrightarrow{HB}=O$

c. Montrer que $H$ est le barycentre du système de points pondérés $\left\lbrace(B\ ; b^{2})(C\ ;\ c^{2})\right\rbrace$

2. A tout point $M$ du plan 

On associe le nombre réel défini : $g(M)=b^{2}MB^{2}+c^{2}MC^{2}$

a. Montrer que $g(M)=a^{2}MH^{2}+b^{2}HB^{2}+c^{2}HC^{2}$

b. Déduire de :

1. que : $HC^{2}=\dfrac{b^{4}}{a^{2}}$ ; $HB^{2}+\dfrac{c^{4}}{a^{2}}$

c. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $g(M)=2b^{2}c^{2}$

Exercice 5

A. oit $(C)$ et $(C')$ deux cercles sécants en $A$ et $B$, $(\Delta)$ et $(\Delta')$ deux droites passant respectivement par $A$ et $B$ distinctes de la droite $(AB)$

L droite $(\Delta)$, respectivement $\Delta))$ recoupe $(C)$ et $(C')$ en $P$ et $P'$ respectivement en $Q$ et $Q'$

On suppose que les poins $A$, $B$, $P$, $Q$, $P'$ et $Q'$ sont tous distincts

1. Faire une figure 

2. Montrer que les droites $(PQ)$ et $(P'Q')$ sont parallèles

B. Placer deux points $R$ et $S$ tels que $RS=4\,cm$

Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que :

$\left(\overrightarrow{MR}\ ;\ \overrightarrow{MS}\right)=-\dfrac{\pi}{6}[2\pi]$