Composition du premier semestre - 1er S1

Considérons la fonction $f$ définie par $f(n)=\Pi_{k=2}^{n}\left(1-\dfrac{1}{k^{2}}\right)$

Partie A

L'objectif de cette partie est de montrer que $\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}f(n)=\dfrac{1}{2}$

1. Montrer que $1-\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{k^{2}-1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k\times k}$

2. Montrer que $\Pi_{k=2}^{n}\left(1-\dfrac{1}{k^{2}}\right)=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k\times k}$

3. Déduire de la question $2.$ que $\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}f(n)=\dfrac{1}{2}$

Partie B 

4. Calculer les limites suivantes

a. $\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}\dfrac{n}{\sqrt{1+n^{2}}-\sqrt{1+n}}$

b. $\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}\dfrac{n}{\sqrt{|n+2|}}-\dfrac{n}{\sqrt{|n+1|}}$

5. Déduire des questions $a$ et $b$ la résolution sur $]-\pi\ ;\ \pi]$, $[0\ ;\ 2\pi]$ et $\mathbb{R}$ de :

a. $\cos\left(-x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos+ 3x=\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}\dfrac{n}{\sqrt{1+n^{2}}-\sqrt{1+n}}$

b. $4\sin^{2}x+2\left(\sqrt{2}-1\right)\sin x-\sqrt{2}\leq \lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}\dfrac{n}{\sqrt{|n+2|}}-\dfrac{n}{\sqrt{|n+1|}}$

Problème 1 : au pays des zoulous

Les Zoulous sont un peuple bantou d'Afrique australe, en partie sédentaire, qui se trouve
principalement en Afrique du Sud. 

La force des Zoulous réside de leur esprit guerrier et a confection d'armure pour une bonne défense lors des combats et duels.

L'objectif de cet exercice est de confectionner un exemplaire de cette armure.

PARTIE A : Formation des équipes

Les équipes des guerriers Zoulous se font par équipe de trois personnes (un armurier,
un chef et porteur des affaires). 

Un clan est composé de $11$ filles et $3$ garçons.

1. Combien y a-t-i d'équipes possibles ?

2. Combien y a-t-il d'équipes si e l'armurier doit être un garçon ?

3. Combien y a-t-il de d'équipes possibles si les deux genres doivent être présents dans
l'équipe ? 

4. Voilà une variante du problème : supposons que chacun des porteurs d'affaires doit
avoir un suppléant. 

Combien y a-t-il d'équipes possibles si le porteur d'affaires et le suppléant doivent être de genre différent.

PARTIE B: Fabrication des armures

Lors du processus de fabrication d'une armure l'armurier(e) de chaque équipe définit le repère orthonormé $\left(O\:;\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ et les points $A_{1}\begin{pmatrix} 1\\ 0
\end{pmatrix}$ ; 

$A_{2}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$ ; 

$A_{3}\begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix}$

$A_{4}\begin{pmatrix} 0\\ -1 \end{pmatrix}$ ; 

$B_{1}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\ -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ ; 

$B_{2}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ ; 

$B_{3}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ ; 

$B_{4}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2}\\ -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$

L'isobarycentre des points $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ et $Â_{4}$

6. Déterminer la nature ses ensembles $\mathbb{C}_{1}=\left\lbrace M\in\mathfrak{P}/\sigma_{i=1}^{4}Ma_{I}^{2}=8\right\rbrace$

7. Déterminer la nature des ensembles $\mathbb{C}_{2}=\left\lbrace M\in\mathfrak{P}/\overrightarrow{MB}_{1}\cdot\overrightarrow{B_{2}B_{1}}\right\rbrace$

8. Déterminer la nature des ensembles $\mathbb{C}_{3}=\left\lbrace M\in\mathcal{P}/\overrightarrow{MB}_{3}\cdot\overrightarrow{B_{3}B_{4}}\right\rbrace$

9. Déterminer la nature des ensembles $\mathbb{C}_{4}=\left\lbrace (x\;,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} y=x\ ;\ y=-x\right\rbrace$

L'armurier(e) indique que ces quatre ensembles donnent exactement l'armure tant souhaitée.

10. Construire donc l'armure des guerriers Zoulous.

11. Déterminer graphiquement l'ensemble $\text{FIABLE }=\left\lbrace M\in\mathcal{P}/\sigma_{i=1}^{4}MA_{i}^{2}\leq 8\right\rbrace$

qui indique la qualité d'un armure

12. En déduire card(DEFAILLANCE) où DEFAILLANCE indique les failles de l'armure.

Problème : statistique et big data

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes

Partie A

Une étude de service des transports donne la distance de freinage d'une voiture sur une route en bon état en fonction de sa vitesse

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Vitesse en }km/h : X&40&50&60&70&80&90&100&110&120\\ \hline
\text{Distance en }m : Y&8&12&18&24&32&40&48&58&72\\ \hline \end{array}$

On désigne par $X$ la vitesse et par $Y$ la distance de freinage.

1. Représenter le nuage de points. 

On prendra en abscisse $1\,cm$ pour $10\,km/h$ et en ordonnée $1\,cm$ pour $5\,m$

NB : On commencera en abscisse les graduations à partir de $40\,km/h$ et en ordonnée les
les graduations à partir de $8\,m$

2. Déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X\left(D_{y/x}\right)$

3. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r$ 

Avons-nous une bonne corrélation ?

On suppose que cette évolution se poursuit. 

Un automobiliste roulant à $150\,km/h$ entame un freinage à d'un obstacle  immobile.

a. Percutera-t-i l'obstacle ? 

b. Quelle devrait être sa vitesse maximale au  moment du freinage pour ne pas heurte l'obstacle

Partie B

Une autre étude sur les causes des accidents donne les résultats ci-dessous

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Type de transport : }Y\text{Particuliers }y_{1}&\text{Transprteurs en commun }y_{2}\\ \text{Cause des accidents : }X&&\\ \hline \text{Accidents liés à l'excès }&440&360\\ \text{de vitese :}x_{1}&&\\ \hline \text{Accidents à cause }&110&90\\ \text{mécanique :}x_{2}&&\\ \hline
\end{array}$

5. Déterminer l'effectif total des accidents enregistrés ors de cette étude.

6. Déterminer les fréquences conditionnelles $f_{y2/x1}$ et $f_{x2/y2}$

7. Déterminer les fréquences marginales $f_{1}$ et $f_{2}$

PARTIE C

On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\dfrac{\left(1-x^{2}\right)}^{2}{1+x^{2}}$$

1. Déterminer son ensemble de définition. 

2. Démontrer que $f$ est une fonction positive sur $\mathbb{R}$

3. Étudier la parité de la fonction $f$

4. Tracer soigneusement la représentation graphique $\mathbb{C}_{f}$ de la fonction $f$ (On se limitera à l'intervalle $[-3\ ;\ 1]$

5. Donner par lecture graphique la valeur du maximum de la fonction $f$ sur :

a. l'intervalle $[-1\ ;\ 1]$

b. l'intervalle $[-2\ ;\ 1]$

6. Résoudre l'inéquation $f(x)\geq 1$

7. Montrer que pour des données massives (Big Data) $\mathbb{C}_{g}$ peut remplacer $\left(D_{y/x}\right)$ où $g(x)=\dfrac{f(x)}{\left(+x^{2}\right)^{2}}+ax+b^$ avec $a=\dfrac{cov (X\ ;\ Y)}{V(X)}$ et $b=\overline{y}-\overline{ax}$

bonus des champions 

Soient $\varphi\ :\ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ et $f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ des fonctions croissantes et $\varphi$ convexe.

1. Montrer que si $f$ est convexe, alors $f\circ \varphi$ est convexe.

2. Montrer que si $f$ est décroissante, alors $f\circ \varphi$ est concave.

3. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour retrouver le $1$