1. Ensembles de nombres 

Pour chacun des nombres suivants, trouver le plus petit ensemble de nombres $N, Z, D, Q$ ou $R$ auquel il appartient : 

a) $−18; 1,25; 7; 2π; −0,6666...; 0$. 

b) $− \dfrac{28}{5} ; \dfrac{3,1416}{π} ; \dfrac{901}{53} ; \dfrac{676}{2} ; \dfrac{53}{27}$ . 

c)$ 1,234567891011...; 246,81012...$ 

d) $−4,7×103; \dfrac{3}{2} ;\dfrac{ 1,111111... }{9}$

e) $1357,91357...; \dfrac{21}{560} ; \dfrac{2π}{5} ;\dfrac{ ( . \sqrt{7} +4)(\sqrt{7}−4)}{3} ; \dfrac{π+3}{π +1}$ . 

On pourra présenter les résultats sous forme de tableau en indiquant, pour chaque nombre, s’il appartient ou non à $N, Z, D, Q$ et $R$. 

Les groupes de chiffres surmontés d’une barre, dans le document source, sont supposés être répétés jusqu’à l’infini.

2. Parité

$a$ et $b$ sont deux entiers naturels. 

Montrer les propriétés suivantes : 

1) Si $a$ et $b$ sont pairs, alors $a +b$ est pair. 

2) Si $a$ et $b$ sont impairs, alors $a +b$ est pair. 

3) Si $a$ est pair et $b$ impair,alors $a+b$ est impair. 

4) Si $a$ et $b$ sont pairs, alors $ab$ est pair. 

5) Si $a$ et $b$ sont impairs,alors $ab$ est impair. 

6) Si $a$ est pair et bimpair ,alors $ab$ est pair. 

7) Si $a$ et $b$ sont deux nombres consécutifs,alors l’un d’eux est pair et l’autre impair. 

3. Irrationalitéde $\sqrt{2}$ 

$a$ étant un entier naturel : 

1)Montrer que si $a$ est pair, alors $a^{2}$ est pair. 

2)Montrer que si $a$ est impair, alors $a^{2}$ est impair. 

3En déduire que si $a^{2}$ est pair,alors $a$ est pair et que si $a^{2}$ est impair,alors $a$ est impair. 

4)On veut maintenant prouver que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

On suppose que $\sqrt{2}$ es trationnel, c’est-à-dire qu’ils’écrit sous forme irréductible $p q ,p$ et
$q$ étant des entiers naturels non nuls. 

a) Justifier que $p^{2}=2q^{2}$.

Quelle est alors la parité de $p^{2}$? 

b)D’après 3),on sait que $p$ et $p^{2}$ ont même parité.

En déduire la nparité de $p$. 

c)Montrerque si $p$ est pair, on peut écrire $p=2p′$ et qu’alors $q^{2}=2p′^{2}$. 

d)Par un raisonnement analogue à la question

1),en déduire la parité de $q$. 

e)Comme $p q$ est irréductible, que penser des réponses aux questions 
$b$) et $d$)? 

4.Développer et réduire Développer et réduire les expressions suivantes: 

$A=5(6x−2)+x(5x−2), B=5(1−5x)−(−8x−3)$, 

$C=(−x+3)(x+8), D=4(2x−5)(1−x)+(8x+1)(x−1)$, 

$E=(x^{2}+x−3)(x−2), F=(x+1)(x+2)(x+3)$. 

5.Calcul littéral 

Effectuer les calculs suivants:

$ (1)(a+b)(x−y)−(a−b)(x+y)−b(x−y)$, 

$(2)x(a−by)−y(b−ax)−xy(x−y)$, 

$(3)3[5(x−a)−2(b−y)]−6(a−b)+15(x+y), 

$(4)x−y−[z−y−(t−x)]−[y+t−(x+z)]−[x−(y−z+t)]$. 

6.Démontrer des égalités Montrer les égalités suivantes:

$1−(x+1)(x−3)=5−(x−1)^{2}$. 

Indication: soit $A$ le premier membre et $B$ le second membre.

Transformer séparément $A$ et $B$ pour obtenir un même résultat $C:  
A=···=···=C, B=···=···=C$. 

Puis montrer: $\dfrac{x+4}{3} −\dfrac{x}{2}=1+\dfrac{2−x}{6}$ . Indication:soit $A$ le premier membre et $B le second membre.

On pourra transformer la  différence $A−B$ jusqu’à obtenir la valeur $0$. 

7.Divisibilité 

Rappeler les critères de divisibilité d’un nombre entier: 

a) par $2$; 

b) par $3$; 

c) par $5$; 

d) par $9$; 

e) par $10$. 

8.Fractions Effectuer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible:

1°a)$\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}−\dfrac{1}{6}$ ,b)$4−\dfrac{1}{2}−\dfrac{7}{4}$ , c)$2−\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}$ , 

2°a)$\dfrac{2}{15}−\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5}$ , b)$1−\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}$ , c)$2−\dfrac{4}{9}+\dfrac{2}{3}$ . 

9.Produits de fractions 

Effectue rensimplifiant au maximum, sans calculatrice: 

a) $\dfrac{5}{4}×4$, b)$2×\dfrac{7}{6}$  , c) $\dfrac{5}{4}×\dfrac{12}{35}$ , 

d)$\dfrac{4}{49}×\dfrac{56}{3} ×\dfrac{1}{8}$ , e) $\dfrac{10}{33}×\dfrac{55}{4} ×\dfrac{1}{25}$ , 

f)$−3× −\dfrac{2}{9} ×\dfrac{1}{8} $, g)$4×\dfrac{15}{8} ×\dfrac{32}{5}$ , 

h)$−12×\left( −\dfrac{5}{3}\right) ×\dfrac{32}{25}$ , i)$\dfrac{875}{8} × \left(−\dfrac{52}{5}\right) × \dfrac{9}{196}$ . 

10.Calcul dans les parenthèses 

Effectuer, sans distribuer, mais en calculant dans les parenthèses: 

a)$4 \left(\dfrac{1}{3}−\dfrac{1}{2} \right)$, b) $\left(\dfrac{1}{2}−\dfrac{1}{4}\right) \left(1+\dfrac{1}{3}\right)$ , 

c)$−2 \left(1−\dfrac{5}{4}\right)$ , d)$ \left(\dfrac{5}{7}−\dfrac{1}{3} \right)\left(\dfrac{1 }{4}+\dfrac{3}{2}\right)$ , 

e)$6 \left(1−\dfrac{1}{3}\right)\left( 1−\dfrac{1}{2}\right)$ .
 
11.Calcul prioritaire Effectuer en ligne à la calculatrice, puis à la main:

$−3^{2}+\left(\dfrac{1}{2}−1+\dfrac{1}{4}\right) ÷ \left(−\dfrac{3}{4}+1\right) ^{2}$ . 

12.Simplification de rationnels 

Exprimer chacun des rationnels suivants sous la forme d’une fraction irréductible(précédée ou non du signe−) ou d’un entier :

$p=\left(\dfrac{11}{2}\right)^{3} , q= −\dfrac{3}{ (4/5)^{2}} , s= \dfrac{25/98}{ −35/22}$ ,

$t= \dfrac{−3/4 }{−35/8} , u= \dfrac{72/7 }{36/49} , v=\dfrac{3^{2}}{2^{5}}×\dfrac{27}{4}$ ,

$w=\dfrac{−8 }{11} ×\dfrac{−7}{14} ×(−2), x=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{1-\dfrac{x}{3}}}, y= \dfrac{\dfrac{4}{7}+\dfrac{1}{5}}{\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{7}}$,

et les  expressions $α,β,γ,δ,ε$ données dans le document source. 

Les parenthèses et fraction simbriquées doivent être traitées exactement comme indiquées dans l’énoncé original. 

13.Traduction algébrique 

Écrire l’expression algébrique qui correspond à chacune des phrases suivantes: 

1)La somme de $x$ et du produit de $x$ par $y$; 

2)Le carré de la différence de $x$ et de $3$; 

3)Le quotient du  carré de $x$ par le produitde $3$ et du carréde $y$; 

4)Le produit du quotient de $x$ par $y$ par la somme de $3$ et du triple de $x$. 

14.Simplification d’identités remarquables $a$ et $b$ étant deux réels quelconques, écrire plus simplement :$ 
A=(a+b)^{2}+(a−b)^{2},B=(a+b)^{2}−(a−b)^{2}$. 

15.Démonstration

Démontrer que quelsque soient les réels $a,b,x,y: (ax+by)^{2}+(ay−bx)^{2}=(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})$. 

16. Identités remarquables avec quotients $a$ et $b$ étant deux éléments de$\mathbb{R^{∗}}$, donner,en utilisant les identités remarquables,d’autres expressions de:

$\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^{2} , \left(a−\dfrac{1}{a}\right)^{2} ,\left(\dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{a}\right)^{2}$ . 

17.Mise sous forme de quotient 

Soient $a,b∈\mathbb{R^{∗}}$ et $c∈\mathbb{R}$.

Mettre sous forme de quotients: $a+\dfrac{1}{b} , a+\dfrac{c}{b} , \dfrac{1}{a}−\dfrac{1}{b} , \dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{a}$ . 

18.Trois fractions Soient $a,b,c,d$ des réels non nuls.

Écrire sous forme de quotients: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}−\dfrac{1}{c} , \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+ \dfrac{c}{a}$ . 

19.Factorisation 

Factoriser chacune des expressions suivantes: 

a)$(2x+1)(5x+3)+(2x+1)(x+2)−(2x+1)(2x−1)$, 

b)$(3x+2)(x−3)+(x−3)^{2}+x^{2}−9$, 

c)$(2x+3)(x+7)−(2x+3)^{2}+6x+9$, 

d)$(x−5)2+x^{2}−25−(5−x)(2x+1)$, 

e)$(2x−3)^{2}+(3−2x)(x−1)−6+4x$, 

f)$x^{2}+y^{2}+2xy−4a^{2}+12ab−9b^{2}$, 

g)$ab(x^{2}+y^{2})+xy(a^{2}+b^{2})$, 

h)$a^{2}−2by−y^{2}+x^{2}−2ax−b^{2}$, 

i)$9x^{2}y^{3}−3x4y^{2}−6x^{3}y^{3}+18xy^{4}$, 

j)$(5x+y−3)^{2}−(2+5x)^{2}$, 

k)$x^{3}+2x^{2}+10+5x$, 

l)$16x^{2}+8xy−4xz−2yz$, 

m)$(xy+1)^{2}−(x+y)^{2}, n)ab−a+b−1$, 

o)$a^{2}xy+aby^{2}+b^{2}xy+abx^{2}$, 

p)$x^{4}+x^{3}−4x^{2}−4x$, 

q)$a^{2}b^{2}−1+a^{2}−b^{2}, r)y^{2}−x^{2}+2x−1$, 

s)$a(x−y)+x(b+c−y)−y(b+c−x)$. 

Pour m),on trouver a un produit de quatre facteurs. 

20.Fractions algébriques Simplifier les fractions suivantes et indiquer dans quelles conditions les simplifications sont possibles:

$F_{1}=\dfrac{a^{2}+2ab+b^{2}−c^{2}}{ a^{2}+2ac+c^{2}−b^{2}} , F_{2}=\dfrac{ a^{2}−(b−c)^{2}}{ a^{2}−2ab+b^{2}−c^{2}} $,

$F_{3}=\dfrac{25x^{2}−20x+4}{ 25x^{2}−4} , F_{4}=\dfrac{{\dfrac{x}{ x−y}− \dfrac{y}x+y}}{\dfrac{y}{x−y}+\dfrac{x}{ x+y}} $, 

$F_{5}=2−\dfrac{ 4}{ 1+\dfrac{1 }{1+ \dfrac{x}{ 1−\dfrac{x}{2}}}}$ . 

21.Équations

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes: 

1°) $\dfrac{10x+3}{3} −\dfrac{3x−1}{5} =x−2$, 

2°)$x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}=0$, 

3°)$\dfrac{ a}{ 3}−\dfrac{5a−1}{ 5 }−\dfrac{a−1}{4} =0$, 

4°)$4\left( \dfrac{2x−7 }{9}\right) −\dfrac{3−5(x−2)}{3} +\dfrac{13}{27}=\dfrac{3x−5}{ 3} −\dfrac{2}{ 4}+\dfrac{217}{ 108}$ , 

5°)$(3x−4)^{2}=x^{2}+2x+1, 

6°)$(x+1)(x−3)=2x^{2}−18$,

7°)$2x^{3}+x^{2}−2x−1=0$, 

8°) $\dfrac{9}{a}=\dfrac{8}{a+1}+ \dfrac{4}{ 4a−1}$ , 

9°) $\dfrac{1}{ x−2}−\dfrac{ 1}{ x+2}= \dfrac{4}{ x^{2}−4}$ , 

10°) $\dfrac{x}{ x+2}−\dfrac{x−1}{ x} =\dfrac{−x^{2}−x+6 x}{(x+2)}$ , 

11°) $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{ 1}{ x−1}+ \dfrac{1}{ x+2}+\dfrac{ 1}{ x−2}=0$, 

12°) $\dfrac{x−1 }{x−2}−\dfrac{x−2}{ x−3}=\dfrac{x−4}{ x−5}−\dfrac{x−5}{ x−6}$ . 

22. Inéquations et systèmes Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations (ou systèmes d’inéquations) suivantes: 

1°) $\dfrac{x}{2}−\dfrac{x−3}{4} −6x≤−5x$,

 2°)$3−\dfrac{x−2}{ 2} +\dfrac{2}{3}>3x$, 

3°)$x−\dfrac{3}{ 2}−x(x+3)≥1−x^{2}$, 

4°)$\dfrac{ 4−2x}{ x+3} ≤0$, 

5°)$\dfrac{ 2x−1}{ x−3} >3$, 

6°) $\dfrac{3x+1}{ x+1} ≥\dfrac{1}{2}$ , 

7°) $\dfrac{(x^{2}−1)(x−4)}{ 2x−1} >0$, 

8°) $\dfrac{x}{ x−2}−2≥\dfrac{−x+3}{ x+1}$ , 

9°)$\dfrac{ 7x−x^{2}}{ (x−1)(x^{2}+4x+4)} ≤0$, 

10°)$\dfrac{ x−2}{ 2x+1}−\dfrac{2x+1}{ x−2} >0$.

Résoudre également les deux systèmes : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl}\dfrac{x^{2} −(2x−3)^{2}}{ 2 −x}& ≤&0,\\ x^{2}& ≥& x, \end{array}\right.,
\left\lbrace\begin{array}{rcl}\dfrac{ (x −1)(x+2)}{2x- 3}&>0& ,\\
\dfrac{ (1 −x)(x+2)}{x}&<&0,
\end{array}\right.$$