1. Définitions

Il existe deux catégories de nombres réels :

— les nombres réels positifs, dont l’ensemble est noté $\mathbb{R^{+}}$ ;

— les nombres réels négatifs, dont l’ensemble est noté $\mathbb{R^{-}}$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. 

On dit que $a$ est inférieur ou égal à $b$ (notation $a \leq b$) si et seulement si $a - b$ est un nombre réel négatif, c’est-à-dire un élément de $\mathbb{R^{-}}$.

Dans ce cas, on dit aussi que b est supérieur ou égal à a.

$(a \leq b) \Longleftrightarrow (b \geq a)$; 

$(a < b) \Longleftrightarrow (a \geq b$ et $a \neq b)$;

$(a > b) \Longleftrightarrow (a \geq b$ et $a \neq b)$:

L’écriture $a \leq b$ est appelée inégalité. 

La relation $a \leq b$ entre deux nombres réels est appelée relation d’ordre.

2. Propriétés de la relation d’ordre

a) Si $a < b$, alors $a \leq b$, mais la réciproque n’est pas vraie.

b)$(a \leq  b) \Longleftrightarrow (a + c \leq  b + c); (a < b) \Longleftrightarrow (a + c < b + c)$:

c) Si $a \leq  b$ et $b \leq  c$, alors $a \leq  c$.

d) Si $a \leq  b$ et $b < c$, alors $a < c$.

e) Si $a \leq  b$ et $c \leq d$, alors $a + c \leq  b + d$.

f) Si $a \leq  b$ et $c < d$, alors $a + c < b + d$.

g) Si $a \leq  b$ et $c > 0$, alors $ac \leq  bc$.

h) Si $a \leq b$ et $c < 0$, alors $ac \leq  bc$.

i) Si $0 \leq a \leq b $et $0 c d$, alors $ac \leq bd$.

j) Si $a > 0$ et $b > 0$ :

$a \leq b \Longleftrightarrow\dfrac{1}{a}\geq\dfrac{1}{b}$:

Si $a < 0$ et $b < 0$, la même propriété vaut :

$a \leq b \dfrac{1}{a}\Longleftrightarrow\geq\dfrac{1}{b}$.

k) Si $a \geq 0 et b \geq 0 $:

$a \leq b \Longleftrightarrow a^{2} \leq b^{2}; a \leq b (\Longleftrightarrow\sqrt{a}\leq\sqrt{b}$:

3. Valeur absolue d’un réel

Soit $x$ un réel. 

La valeur absolue du réel $x$, notée $|x|$, est définie par
$$|x| =\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x; x& \geq& 0;\\
-x; x& \leq& 0.
\end{array}\right.$$

Propriétés.

$|x| \geq 0; |-x| = |x|; |xy|= |x| |y|; |x^{n}| = |x^{n}|,

$|\dfrac{x}{y}|= \dfrac{|x|}{|y|}(y \neq 0)$:

De plus,

$|x| = r \Longleftrightarrow x = r$ ou $x = -r$;

$|x| = |y| \Longleftrightarrow x = y$ ou $x = -y$;

$|x| \leq r \Longleftrightarrow - r \leq x \Longleftrightarrow r;$

$|x| \geq r \Longleftrightarrow x \geq r$ ou $x \leq -r$:

4. Intervalles

On appelle intervalles les parties de $\mathbb{R}$ définies par

$[a; b] = {x\in \mathbb{R}|a \leq x \leq b}$;

$[a; b[= {x \in \mathbb{R} |a \leq x < b}; ]a; b] = {x\in \mathbb{R} a < x \leq b}$;

$]a; b[= {x \in \mathbb{R} a < x < b}$;

$[a;+\infty[= {x \in \mathbb{R} x \leq a}; ]a;+\infty[= {x \in \mathbb{R}| x > a}$;

$]-\infty; a] = {x \in \mathbb{R}x \leq a}; ] -\infty; a[= {x \in \mathbb{R}|x < a}$:

L’intersection $I \cap J$ est l’ensemble des réels qui appartiennent à $I$ et à $J$. 

La réunion $I \cup J$ est

l’ensemble des réels qui appartiennent à $I$ ou à $J$.

Le centre d’un intervalle borné d’extrémités $a$ et $b$ est

$\dfrac{a + b}{2}$;et son rayon est
$\dfrac{b - a}{2}$:

5. Distances dans $\mathbb{R}$

Tout réel $x$ peut être représenté par un point $M$ d’une droite graduée. 

On dit alors que $x$ est l’abscisse de $M$.

Si $M$ et $N$ ont pour abscisses $x$ et $y$, alors

$d(M;N) = d(x; y) = |x - y| = |y - x|$:

En particulier,

$|x| = d(0; x)$:

Soient $a; x \in\mathbb{R}$ et $r > 0$. 

Les quatre énoncés suivants ont la même signification :

$|x- a| \leq r; d(x; a) \leq r; x \in [a \leq r; a + r]; a \leq r \leq x \leq a + r$:

6. Partie entière

Tout nombre réel $x$ est encadré par deux entiers consécutifs $k$ et $k + 1$ :

$k \leq x < k + 1$:

On dit que l’entier k est la partie entière de $x$ et on note
$E(x) = k$ ou $[x] = k$:

La partie entière du réel $x$ est donc le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. 

Ainsi,
$E(x) =x < E(x) + 1$:

7. Approximations décimales

Soit $x$ un nombre réel.

L’approximation décimale par défaut de $x$ à la précision $10^-{n}$ est
$\dfrac{E(10^{n}x}{10^{n}}$ :

L’approximation décimale par excès de $x$ à la précision $10^{-n}$ est
$\dfrac{E(10^{n}x) + 1}{10^{n}}$ :

Par exemple,

$1; 414 <\sqrt{2} < 1; 415$:

Ainsi $1;414$ est l’approximation décimale par défaut de $\sqrt{2}$ à $10^{-3}$ près et $1; 415$ est l’approximation
décimale par excès.

8. Calculs approchés

Une double inégalité
$a \leq x \leq b$

est appelée un encadrement du réel $x$. 

La différence $b - a$ est sa précision ou son amplitude.

On dit qu’un réel a est une valeur approchée de $x$ à $\varepsilon$ près 

lorsque
$a -\varepsilon \leq x \leq a + \varepsilon$;

ou encore
$|x - a| \leq\varepsilon$:

Si
$a \leq x \leq a + \varepsilon$;

alors $a$ est une valeur approchée de $x$ par défaut à $\varepsilon$ près.

Si
$a \varepsilon\leq x \leq a$;

alors a est une valeur approchée de x par excès à $\varepsilon$ près.
Règle d’arrondi automatique. 

Lorsque le premier chiffre négligé est $0; 1; 2; 3$ ou $4$, on coupe la partie excédentaire. 

Lorsqu’il est $5; 6; 7; 8$ ou $9$, on augmente d’une unité le dernier chiffre conservé.

On parle d’arrondi automatique d’ordre $n$ lorsqu’on conserve $n$ chiffres significatifs après la virgule.

Ordre de grandeur. 

Si $x = a \times 10^{n}$ est écrit sous forme scientifique, son ordre de grandeur est

$x_{1} = a_{1} \times 10^{n}$;

où $a_{1}$ est l’arrondi d’ordre $1$ de $a$.

Exemples :

$5; 39 \times 10^{6}\longrightarrow 5 \times 10^{6}$;

$(4; 9872 \times 10^{15})(2; 3645 \times 10^{13}) \longrightarrow (5 \times 10^{15})(2 \times 10^{13}) = 10^{29}$: