Exercice 1

— Comparaisons

Comparer les nombres $x$ et $y$, sans utiliser de machine, dans chacun des cas :

a) $x = 3\sqrt{5}; y = 2\sqrt{11} $;

b) $x = 3 + 2\sqrt{2}; y = 2 +\sqrt{13}$ ;

c) $x =\sqrt{8} +\sqrt{5}; y =\sqrt{7} +\sqrt{6} $;

d) $x = 2\sqrt{3} +\sqrt{7}; y =\sqrt{11} + 2\sqrt{3}$ ;

e) $x = 5 + 2\sqrt{3}; y = 4 + 2\sqrt{5}$ ;

f) $x =\sqrt{5} +\sqrt{7}; y =\sqrt{12} + 2\sqrt{35} ;$

g)$ x = 7 - 4\sqrt{3}; y = 5 - 2\sqrt{2} $;

h) $x = 7(\sqrt{2} +\sqrt{3}); y = 22 $;

i) $x =\sqrt{5} -\sqrt{3}; y =\sqrt{8} - 2\sqrt{15}$ ;

j) $x =\dfrac{\sqrt{2}}{3} +\sqrt{3}; y =\dfrac{\sqrt{6}}{2} + 1$ ;

k) $x = \dfrac{1}{6-5\sqrt{2}}; y = \dfrac{3}{5-2\sqrt{2}}+ \dfrac{4}{6+2\sqrt{2}}$.

Exercice 2

— Calcul de carrés

Dans chacun des cas suivants, calculer $x^{2}$, déterminer le signe de $x$, puis en déduire $x$ :

a) $x =\sqrt{3} +\sqrt{5} -\sqrt{3} -\sqrt{5}$; b) $x =\sqrt{7} - 2\sqrt{6} -\sqrt{7} + 2\sqrt{6}$;

c) $x =\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} -\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$; 

d) $x =\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}-\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$;

e)$ x =\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} -\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$:

Exercice 3

—Pratique des inégalités

Compléter les expressions suivantes, les lettres désignant des réels.

1. Si $x \geq 1$, alors $2x$ : : : ; si $x |geq -1$, alors $2x$ : : :.

2. Si $x \leq 4$, alors $-\dfrac{x}{2}$ : : : ; si $x \geq -4$, alors $-\dfrac{x}{2}$ : : :.

3. Si $x \leq 2$, alors $x + 1$ : : : ; si $x \geq -2$, alors $x - 1$ : : :.

4. Si $-1 \leq x \leq 2$, alors : : : $\leq 3x$ : : : ; si $-2 \leq x \leq 1$, alors : : : $\leq x \leq 1$ : : :.

5. Si $-1 \leq x \leq 0$, alors : : : $\leq x + 1$ : : : ; si $-2 \leq x \leq 1$, alors : : : $\leq x - 1$ : : :.

6. Si $x \leq 1$, alors $-2x + 1$ : : : ; si $x \geq -1$, alors $-\dfrac{x}{2} + 3$ : : :.

7. Si $-1 \leq x$ et $2 \leq y$, alors $x + y$ : : : ; si $x \leq 1$ et $y \geq -1$, alors $x - y$ : : :.

8. Si $x \geq 1$, alors $\dfrac{1}{x}$ : : : ; si $x \leq -2$, alors $-\dfrac{3}{x}$ : : :.

9. Si $x \geq 2$, alors $-\dfrac{2}{x}$ : : : ; si $x \leq -1$, alors $-\dfrac{3}{x} $: : :.

10. Si $x \geq 1$ et $y \geq 2$, comparer $\dfrac{1}{x+y}$ à $\dfrac{1}{3}$ ; si $x \leq -1$ et $y \leq -2$, comparer $\dfrac{2}{x+y}$ à $2(\sqrt{2} - 1)$.

11. Si $x \geq 4$ et $y geq 2$, encadrer $xy$ ; si $x \leq -2$ et $y \leq -3$, encadrer $xy$.

12. Si $x > 1$, montrer que $x^{2} > x$.

13. Si $-1 \leq a \leq 1$ et $-1 \leq b \leq 1$, montrer que $-1 \leq ab \leq 1$.

14. Montrer que $-1 \leq a \leq 1$ si et seulement si $a^{2} \leq 1$.

Exercice 4 

— Puissances et ordre

Soit $a \in \mathbb{R}$.

1. On suppose $0 < a < 1$. 

Comparer $a$ et $a^{2}, a$ et $\sqrt{a}$, puis $a$ et $\dfrac{1}{a}$ . 

Ranger dans l’ordre croissant :

$1, a, \sqrt{a}, a^{2}, \dfrac{1}{a}$ .

2. On suppose $a > 1.$ 

Ranger dans l’ordre croissant : $1, \dfrac{1}{a} , a,\sqrt{a}, a^{2}$.

Exercice 5

— Encadrements

Dans chacun des cas suivants, des encadrements de $a$ et $b$ sont donnés. 

Encadrer $a + b, a - b, ab$ et $\dfrac{1}{a} -\dfrac{1}{b}$ .

1. $17; 3 \leq a \leq 17; 4$ et $21; 9 \leq b \leq 22$.

2. $-3; 4 \leq a \leq -3; 3$ et $37; 5 \leq b \leq 37; 6$.

3. $-0; 6 \leq a \leq -0; 5$ et $-39; 4 \leq b \leq -39,3$.

4. $-6 \times 10^{-5} \leq a \leq -5 \times 10^{-5}$ et $3 \leq 10^{-3} \leq b \leq 4 \leq 10^{-3}$.

Exercice 6 

— Encadrements et fonctions

Soient $a; b \in\mathbb{R}$ tels que

$1; 73 \leq a \leq 1; 75; 1; 46 \leq b \leq 1; 5$:

1. Donner un encadrement de $-2a + 5, b^{2}, b^{2} - 2a + 5, a \leq b, \dfrac{a}{b}$ et $a^{2} + 2\sqrt{b}$.

2. Soient maintenant $4 \leq a \leq 4; 1$ et $-0; 5 \leq b \leq 0; 3$. 

Donner un encadrement de $ab$.

Exercice 7 

— Une inégalité classique

Soient $x > 0$ et $y > 0$.

1. Démontrer que
$\dfrac{1}{x^{2} + y^{2}}\leq\dfrac{1}{2xy}$:

2. En déduire que

$\dfrac{x + y}{x^{2} + y^{2}}\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)$;

puis démontrer, pour $x; y; z > 0$,

$\dfrac{x + y}{x^{2} + y^{2}} +\dfrac{y + z}{y^{2} + z^{2}}+\dfrac{z + x}{z^{2} + x^{2}}\leq\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$:

Exercice 8 

— Développement et inégalité

1. Développer (a + b)^{3}$.

2. Pour $a; b > 0$, démontrer que $\left(\dfrac{a + b}{2}\right)^{3}\leq\dfrac{a^{3} + b^{3}}{2}$:

Exercice 9

Soient $a > b > 1$. 

Comparer
$A =\dfrac{a - b}{\sqrt{a} +\sqrt{b}}$ et $B =\dfrac{a - b}{\sqrt{a - 1} +\sqrt{b -1}}$.

Exercice 10 

— Trois réels

Soient $a; b; c \in\mathbb{R}$.

1. Montrer que

$(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca$:

2. Calculer $(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}$ et en déduire

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca \geq 0$:

Préciser le cas d’égalité.

3. Montrer que

$\dfrac{|a + b + c|}{\sqrt{3}}\leq\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$:

Dans quel cas y a-t-il égalité ?

4. Si $a; b; c > 0$, montrer que $\dfrac{\sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c}}{3}\leq\sqrt{\dfrac{a + b + c}{3}}$:

Exercice 11

— Inégalités

1. Soient $a; b; c \in]0; 1]$.

a) Démontrer que

$(ab - 1)(bc - 1)(ca - 1) \geq 0$:

b) En déduire

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+abc \geq a + b + c +\dfrac{1}{abc}$:

2. Soient $0 < x \leq y \leq z \leq t$. 

Démontrer

$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{t}+\dfrac{t}{x}\geq\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{t}{z}+\dfrac{x}{t}$

de deux façons différentes :

a) en utilisant les résultats de la question $1$ ;

b) en démontrant que

$(z - x)(t - y)(yt - xz) \geq 0$:

Exercice 12

Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ :

$\dfrac{1}{n + 1}+\dfrac{1}{n + 2}+ . . . +\dfrac{1}{2n - 1}+\dfrac{1}{2n}\geq\dfrac{1}{2}$:

Exercice 13

Démontrer que si

$2x + 4y = 1$;

alors

$x^{2} + y^{2} \geq\dfrac{1}{20}$:

Exercice 14

Montrer que si $x; y > 0$, alors

$\dfrac{x + y}{x^{2} + y^{2}}\leq\dfrac{\sqrt{2}}{2}$:

Remarque : exercice difficile, à aborder de préférence après le chapitre sur le second degré.

Exercice 15

Montrer que si $-1 \leq x \leq 1$ et $-1 \leq y \leq 1$,
 alors

$\dfrac{1}{4 + x + y + xy}\leq\dfrac{1}{3}$:

Exercice 16

On considère quatre réels $a < b < c < d$. 

Comparer

$X = (a + b)(c + d); Y = (a + c)(b + d); Z = (a + d)(b + c)$:

Exercice 17

1. Montrer que

$a^{2} + b^{2} \geq 2ab; a; b \in \mathbb{R}$:

2. En déduire, pour $a; b; c > 0$,

$(a^{2} + b^{2})c + (b^{2} + c^{2})a + (c^{2} + a^{2})b \geq 6abc$:

3. Déduire également

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq\dfrac{9}{a + b + c}$:

Exercice 18

1. Montrer que pour tout $x \in\mathbb{R}$,

$x^{2} + 1 \geq 2x$:

2. En déduire que pour $a; b; c; d > 0$,

$\dfrac{(a^{2} + 1)(b^{2} + 1)(c^{2} + 1)(d^{2} + 1)}{abcd}
\geq 16$:

Exercice 19

Soient $a; b; c \in \mathbb{R}$.

1. Montrer que

$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$;

et préciser le cas d’égalité.

2. On suppose $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$. 

Démontrer

$-\dfrac{1}{2}\leq ab + bc + ca \leq 1$:

Exercice 20

Soit $n$ un entier naturel non nul.

1. Prouver que 

$\sqrt{2n - 1}\sqrt{2n + 1} < 2n$:

2. En déduire

$\dfrac{2n - 1}{2n}<\dfrac{\sqrt{2n - 1}}{\sqrt{2n + 1}}$:

3. Démontrer que

$\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}. . .\dfrac{2n - 1}{2n}<\dfrac{1}{\sqrt{2n + 1}}$:

Exercice 21 

— Moyennes

Soient $x; y > 0$ avec $x \leq y$. 

On pose

$a =\dfrac{x + y}{2}; g =\sqrt{xy}; h =\dfrac{2xy}{x + y}; 
q =\sqrt{\dfrac{x^{2} + y^{2}}{2}}$:

1. Démontrer que $x \leq h$ et $q \leq y$.

2. Démontrer que $g \leq a$.

3. Démontrer que $g^{2} = ah$ et en déduire $h \leq g$.

4. Démontrer que $a \leq q$.

5. Ranger par ordre croissant $x; y; a; g; h; q$.

6. Utiliser ces résultats pour prouver, pour $x; y; z > 0$ :

$8xyz \leq (x + y)(y + z)(z + x)$;

$xyz(x + y + z) \leq x^{2}y^{2} + y^{2}z^{2} + z^{2}x^{2} \leq x^{4} + y^{4} + z^{4}$:

Exercice 22

Soient $a > 0$ et $b > 0$.
 
On pose

$E =\dfrac{\dfrac{a}{3} + \dfrac{b}{2}}{\dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{3}}$:

Démontrer que

$4 < E < 5$:

Exercice 23

Soient $x > 0$ et $y < 0$. 

On pose

$Z =\dfrac{9x - 4y}{3x - 2y}$:

Démontrer que

$2 < Z < 3$:

Exercice 24

On considère quatre réels strictement positifs $a; b; c; d$ tels que

$\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}$:

1. Démontrer que $bc - ad > 0$.

2. Démontrer que
$\dfrac{a}{b}<\dfrac{a + c}{b + d}<\dfrac{c}{d}$
:
3. En s’inspirant de ce qui précède, trouver une fraction comprise entre $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{3}{4}$ .

Exercice 25

— Valeur absolue

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

a)$|x -\dfrac{3}{2}|=\dfrac{5}{2}$; b) $|5x - 3| = |3 - 4x|$;

c) $|5 - 2x| = x + 3$; d) $|2x - 3| = -3x - 1$;

e)$|x +\dfrac{5}{2}|\leq\dfrac{7}{2}$; f) |$7 - 5x| \leq 3$;

g) $|9x - 7| < 4$; h) $|2x + 1| \geq 1$;

i) $| - 4x - 2j \geq 3$; j) |3x + 1| > -4$;

k)$ |5x - 3|\leq -2$; l) $1 - |2x - 7| \leq 8$;

m) $| - 2x + 8| + |x + 1| = 3x + 5$; n) |4x - 18| - | - 7x + 9| = -4$:

Exercice 26 

— Valeur absolue et distance

Écrire à l’aide de la valeur absolue, puis en termes de distance :

$1 \leq x \leq 6; -5 < x < -3; (x < 2)$ ou $(x > 5)$:

Exercice 27 

— Tableau de correspondance

Recopier et compléter le tableau suivant.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
N°&\text{ Distance}&\text{ Inégalité}&\text{  Intervalle}&\text{Valeur absolue}\\
\hline
d(x; 1) \leq 3&&&\\
d(x; 1) \leq 2&&&\\
&&] -\infty; 2] \cup[10;+1[&\\
&&&|x + 5| < 2\\
\end{array}$$

Exercice 28 

— Intersection et réunion

Déterminer $E \cap F$ et $E \cup F$ :

a) $E = {x 2 R | |x - 3| < 2}, F = {x \in \mathbb{R} | |x - 2} \leq 2g$ ;

b) $E = {x \in \mathbb{R} | |x| < 5}, F = {x \in \mathbb{R} | |x| > 3}$.

Exercice 29 

— Encadrements à partir d’une inincertitude

Déterminer un encadrement aussi précis que possible de $x$ :

$1. 2; 18$ est une valeur approchée de x avec l’incertitude $2; 5 \times 10^{-2}$ ;

$2. 11; 27$ est une valeur approchée par défaut de $x$ avec l’incertitude $3 \times 10^{-2}$ ;

$3. 125; 112$ est une valeur approchée par excès de $x$ avec l’incertitude $7 \times 10^{-3}$.

Exercice 30 

— Valeurs approchées

Pour chacun des encadrements suivants, déterminer :

a) une valeur approchée à deux décimales et une précision associée ;

b) une valeur approchée par défaut à deux décimales et une précision associée ;

c) une valeur approchée par excès à trois décimales et une précision associée.

$27; 2142 < x < 27; 2156$;

$0; 8131 < x < 0; 8152$;

$-216; 8937 < x < -216; 8911$:

Exercice 31 

— Peut-on comparer ?

$73; 47$ est une valeur approchée de $x$ avec une incertitude de $8 \times 10^{-2}$, et $73; 43$ est une valeur approchée de $y$ avec une incertitude de $5 10^{-2}$. 

Peut-on comparer $x$ et $y$ ?

Exercice 32 

— Approximation d’un inverse

Soit a un réel vérifiant
$|a - 1| \leq\dfrac{1}{2}$:

Montrer que $\dfrac{4}{3}$ est une valeur approchée de $\dfrac{1}{a}$ à la précision $\dfrac{2}{3}$ .

Exercice 33 

— Approximation d’un cube

Soit $x \in \mathbb{R}$.

1. Prouver que
$|(1 - 2x)^{3} - (1 - 6x)| = x^{2}|12 - 8x|$:

2. On suppose $-\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{1}{2}$ .

a) Prouver que $|12 \leq 8x| \leq 16$.

b) En déduire

$|(1 - 2x)^{3} - (1 - 6x)| \leq 16x^{2}$:

c) Donner une valeur approchée de $(0; 9998)^{3}$ à la précision $16 \times 10^{-8}$.

Exercice 34 

— Approximation de $\dfrac{1}{\sqrt{1+a}}$

Soit $|a| < \dfrac{1}{2}$ et

$A =\dfrac{1}{\sqrt{1+a}} -\left(1 -\dfrac{a}{2}\right)$:

1. a) Montrer que

$A =\sqrt{1 + a} -\left(1 -\dfrac{a}{2}\right) +\dfrac{a^{2}}{2(1 + a)}$:

b) Montrer que

$\sqrt{1+a}\geq 1 +\dfrac{a}{2}$

et en déduire $A \leq a^{2}$.

c) Montrer que

$\dfrac{1}{\sqrt{1 + a}}\geq 1 -\dfrac{a}{2}$:

2. En déduire une valeur approchée de  $\dfrac{1}{\sqrt{1;01}}$ à la précision $10^-{4}$.

Exercice 35 

— Traduction des approximations

1. $J = [0; 1258; 0; 1264]$. 

Exprimer l’appartenance de x$ à $J$ par une condition faisant intervenir la valeur absolue, puis en langage d’approximation.

2. Traduire les approximations suivantes par des encadrements :

$5; 624$ approche $x$ à $3 \times 10^-{3}$ près;

$62; 94$ approche $x$ par excès à $5 \times 10^-{3}$ près;

$7; 286$ approche $x$ par défaut à $10^{-3}$ près:

Exercice 36 

— Le problème des trois villes

Trois villes $A, B$ et $C$ sont situées le long d’une route rectiligne : $AB = 900 m, B$ est entre $A$ et $C$,
et $BC = 1200 m$. 

Une personne compte faire quotidiennement deux allers-retours entre sa maison et $A$, un entre sa maison et $B$, et trois entre sa maison et $C$. 

Où doit-elle construire sa maison pour que son trajet journalier soit minimal ?

Exercice 37 

— Partie entière

Résoudre :

a) $E(x) = 2$; b) $E(x) = x$; c) $E(x) = 2x - 5$;

d) $3x - 2 = E(2x)$; e) $E(x^{2}) = x^{2}$:

Exercice 38 

— Propriétés de la partie entière

1. a) Démontrer que

$0 \leq x - E(x) < 1$:

b) Démontrer que

$-\dfrac{1}{2}\leq x - E\left(x +\dfrac{1}{2}\right)<\dfrac{1}{2}$:

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

$E\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)= 2$:

Exercice 39 

— Approximations décimales

1. Soit a un réel, $d$ son approximation décimale d’ordre $n$ par défaut et $d^{0}$ son approximation
décimale d’ordre $n +$ 1 par défaut. 

Montrer que $d \leq d^{0}$.

2. Déterminer les approximations décimales d’ordre $0; 1; 2; 3$ et $4$ de $2; 71828$:

Exercice 40 

Une séquence de touches permet de calculer
$A = 2 -\dfrac{1}{r + 2}$;

où r est un réel donné.

1. Calculer $A$ en fonction de $r$.

2. Sachant que $3; 4$ est l’arrondi d’ordre $1$ de $r$, trouver une valeur approchée de $A$ et l’incertitude associée.