Chapitre 1 : Racine carrée

PRÉ-REQUIS :

Égalités usuelles ; Pythagore.

Compétences exigibles

Connaître la définition et la notation de la racine carrée d'un nombre positif ou nul;

Calculer la valeur exacte ou une valeur approchée d'une racine carrée Connaître la notation $\mathbb{R}$

Calculer une valeur numérique d'une expression littérale dans $\mathbb{R}$
Connaître et utiliser les propriétés de la racine carrée

Rendre rationnel le dénominateur d'un quotient

Comparer des réels avec des radicaux Connaître et utiliser les propriétés de la valeur absolue d'un réel

Écrire sans radical la racine carrée du carré d'un nombre

Déterminer la valeur exacte d'une expression comportant un radical

Déterminer une valeur approchée d'une expression comportant un radical :

$-\ $à partir d'un encadrement de ce radical

$-\ $ou avec la calculatrice

1. Définition et notation

Soit a un nombre rationnel positif ou nul.

On appelle racine de $a$, le nombre positif ou nul dont le carré est à $a$

On le note $\sqrt{a}$

Conséquence immédiate de la définition

On a : $3^{2}-9$ et $(-3)^{2}-9$ , le nombre positif dont le carré est $9$ est $3$ donc $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{0}=0$

Attention : On ne peut pas parler de la racine carrée d'un nombre réel négatif

2. Propriétés

a. $a\in\mathbb{R}$ ; $b\in\mathbb{R}$, on a $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$

b. $a\in\mathbb{R}$ ; $b\in\mathbb{R}^{\ast}$ on a$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ ; en particulier $\sqrt{\dfrac{1}{b}}=\dfrac{1}{\sqrt{b}}$

Attention : les élèves ont tendance à mémoriser les formules sans se préoccuper des conditions de positivité sur $a$ et $b$ et cela entraîne des erreurs très graves pour la résolution de certains exercices

Si $a\leq 0$ et $b\leq 0$ on a $ab\geq 0$ donc $\sqrt{ab}$ existe

mais on ne peut parler ni de $\sqrt{a}$ ni de $\sqrt{b}$

Exemple : $(-3)\times (-4)-12$ donc $\sqrt{12}=\sqrt{(-3)\times (-4)}$ existe mais $\sqrt{-3}$ et $\sqrt{-4}$ ne sont pas

définis on a pas donc $\sqrt{(-3)\times (-4)}=\sqrt{-3}\times \sqrt{-4}$

Ces propriétés permettent de simplifier des calculs

Exemple : $\sqrt{3}\times \sqrt{12}=\sqrt{36}=6$ ; $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ ; $\sqrt{\dfrac{81}{4}}=\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}=\dfrac{9}{2}$

Erreur fréquente Certains qui apprennent mal leur leçon ont tendance à commettre l'erreur suivante :

$\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a+b}$ ou $\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{a-b}$

Voici quelques contre-exemples pour illustrer la fausseté de ces résultats :

$\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$ et $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ et on voit bien que $7\neq 5$ dont $\sqrt{16}+\sqrt{9}=\sqrt{16+9}$
 
$\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2$ et $\sqrt{25-9}=\sqrt{16-4}$ donc $\sqrt{25}-\sqrt{9}-\sqrt{25}-9$

Remarque en outre que $\sqrt{2}-\sqrt{5}$ est défini alors que $\sqrt{2-5}$ n'est pas défini

Remarque importante

$\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3$ et $-3=3$ donc $\sqrt{(-3)^{2}}=|-3|=3$

$\sqrt{3^{2}}=\sqrt{9}=|-3|=3$

Pour tout réel a, $\sqrt{a^{2}}=|a|$

Pour comparer $2$ nombres positifs il suffit de comparer leurs carrés

$\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3$ et $|-3|=3$ donc $\sqrt{(-3)^{2}}=|-3|=3$

$\sqrt{3}^{2}=\sqrt{9}=3=|3|$

Pour tout réel a, $\sqrt{a^{2}}=|a|$

Pour comparer $2$ nombres positifs il suffit de comparer leurs carrés

$\left(\sqrt{a^{2}}\right)^{2}=a^{2}$ et $|a|^{2}=a^{2}$ ; on a : $\left(\sqrt{a^{2}}\right)^{2}=|a|^{2}$ donc $\sqrt{a^{2}}=|a|$

Ce résultat est d'une importance capitale et servira beaucoup dans les résolutions de problèmes en $3^{eme}$ et même dans les classes ultérieures

Si $a\geq 0\left(\sqrt{a}\right)^{2}=\sqrt{a}^{2}=a$

Équation : $x^{2}=a$

Si $a=0$ ; on a $x=0$ et $S=0$

Si $a<0$ pas de solution $S=\Phi$

Si $a> 0$ on a $x^{2}=\left(\sqrt{a}\right)^{2}$ ; $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$ et $S=-\sqrt{a}\;,\sqrt{a}$

Exemple Résoudre $x^{2}=5$ ; on a $S=-\sqrt{5}\;,\sqrt{5}$

Comparaison de réels comportant des radicaux.

Propriétés :

$-\ $Deux nombre positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées carrées. $a$ et $b$ étant positifs,

< si et seulement si $a<b$

Expressions conjuguées ; rendre rationnel le dénominateur d'un quotient.

Vocabulaire

L'expression conjuguée de $\left(a+\sqrt{b}\right)$ est $\left(a-\sqrt{b}\right)$

L'expression conjuguée de $\left(a-\sqrt{b}\right)$ est $\left(a+\sqrt{b}\right)$

Méthode

Pour rendre rationnel le dénominateur d'un quotient comportant un radical (ou des radicaux) , on multiplie le numérateur et le dénominateur de ce quotient par l'expression conjuguée du dénominateur

Remarque : $\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a}$ (ON a multiplié le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{a}$)

Application

Exercice 1

Simplifier $A=\sqrt{75}+2\sqrt{147}-9\sqrt{48}$ et $B=\sqrt{36}-3\sqrt{72}+\sqrt{98}$

Solution

On peut décomposer en produit de facteurs premiers chacun de ces nombres

$75=3\times 5^{2}$ ; $147=7^{2}\times 3$ et $48=4^{4}\times 3$

$A=\sqrt{3\times 5^{5}}+2\sqrt{3\times 7^{2}}-9\sqrt{3\times 2^{4}}=5\sqrt{3}+14\sqrt{3}-36\sqrt{3}=17\sqrt{3}$

$B=6-6\sqrt{2}-7\sqrt{2}=6-13\sqrt{2}$

Exercice 2

1. Calculer $\left(1+\sqrt{5}\right)^{2}$ et $\left(1-\sqrt{5}\right)^{2}$

2. On donne $x=\sqrt{6-2\sqrt{5}}$ et $y=\sqrt{6+2\sqrt{5}}$

a. Simplifier $X$ et $Y$ écrire avec un seul radical)

b. Calculer $x+y$ et $x-y$

Solution

1. On a $\left(1+\sqrt{5}\right)^{2}=6+2\sqrt{5}$ et $y=\sqrt{\left(1+\sqrt{5}\right)^{2}}=|1+5|=1+\sqrt{5}$

b. $x+y=2\sqrt{5}$ et $x-y=-2$

Exercice 3

On donne $a=5-2\sqrt{6}$ et $b=5+2\sqrt{6}$

1. Calculer $a^{2}$ ; $b^{2}$ et $\dfrac{a}{b}$

Que peut-on en déduire ?

2. Calculer $a^{2}$ ; $b^{2}$ et $\dfrac{a}{b}$

3. Vérifier que $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ est un entier naturel

4. Soit $x=\sqrt{49-20\sqrt{6}}$ et $y=\sqrt{49+20\sqrt{6}}$

Écrire $x$ et $y$ avec un seul radical

Solution

1. $a\times b=5^{2}-\left(2\sqrt{6}\right)^{2}=25-24=1$

$A$ et $b$ sont inverses, c'est-à-dire $a=\dfrac{1}{b}$

2. $a^{2}=49-20\sqrt{6}$ ; $b^{2}=49+20\sqrt{6}$

$\dfrac{a}{b}=a\times \dfrac{1}{b}=a^{2}=49-20\sqrt{6}$

3. $\begin{array}{rcl} \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}&=&\dfrac{a^{2}}{ab}+\dfrac{b^{2}}{ab}\\&=&\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab}\\&=&a^{2}+b^{2}\\&=&98 \end{array}$ ;

ce qui est bien un entier naturel

4. On trouve $x=5-2\sqrt{6}$ et $y=5+2\sqrt{6}$

Exercice 4

On considère les expressions :

$H(x)=4\left(x+\sqrt{3}\right)^{2}-4\sqrt{3}\left(x+\sqrt{3}\right)+3$ et

$G(x)=\left(2x+\sqrt{3}\right)^{2}$

1. Développer, réduire et ordonner $H(x)$ et $G(x)$

2. En déduire une factorisation de $H(x)$ et $G(x)$

Solution

1. Développons, réduisons et ordonnons $H(x)$ et $G(x)$

$H(x)=4\left(x^{2}+2\sqrt{3}x+3\right)-4\sqrt{3}x-12+3=4x^{2}+8\sqrt{3}x+12-4\sqrt{3}x-12+3$

$H(x)=4x^{2}+4\sqrt{3}x+3$

$G(x)=4x^{2}+4\sqrt{3}x+3$

2. $H(x)=G(x)=\left(2x+\sqrt{3}\right)^{2}$

Exercice d'entraînement

Exercice 1

1. On considère $x=\sqrt{300}+2\sqrt{3}-4\sqrt{75}$ ; simplifier  
$x$ en le mettant sous la forme :

$x=a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs

2. Calculer $\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$ puis écrire avec un seul radical $y=\sqrt{7-4\sqrt{3}}$

Exercice 2

On donne : $a=\dfrac{2-\sqrt{3}}{5+\sqrt{3}}$

$b=3\sqrt{18}+\sqrt{128}-\sqrt{338}$

$c=\sqrt{2}-3$

1. Rendre rationnel le dénominateur de $a$

2. Simplifier $b$

3. Calculer $c^{2}$

En déduire que $p=\dfrac{6-\sqrt{8}}{3\sqrt{5}-6\sqrt{2}}$ est un rationnel que l'on déterminera

Exercice 3

Écrire le plus simplement possible

$B=5\sqrt{300}+\sqrt{27}-3\sqrt{147}$ ; $C=\dfrac{\sqrt{6-\sqrt{11}}\times \sqrt{6+\sqrt{11}}}{5}$

Exercice 4

On donne les expressions : $P\left[\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+1\right]\left[\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)-1\right]$ et $q=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}$

1. Calculer $p$ puis rendre rationnel le dénominateur de $q$

2. montrer que $\dfrac{p+q^{2}}{p-2q}\in\mathbb{D}$

Trouver une valeur approchée de $q$ à $10^{-2}$ prés par défaut sachant que $1.41\prec\sqrt{2}\prec 1.42$

Exercice 5

Écrire le plus simplement possible

$A=\dfrac{\sqrt{3-\sqrt{3}}\times \sqrt{3+\sqrt{3}}}{\sqrt{6}}$ ;

$B=\dfrac{-3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\sqrt{45}-\sqrt{18}}$ ;

$C=\dfrac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{27}+\sqrt{12}\right)}{\sqrt{54}}$

$D=\left(\sqrt{5}-2\sqrt{80}\right)\times\dfrac{\sqrt{3}}{\left(\sqrt{5}-2\sqrt{80}\right)^{2}}$

$E=\dfrac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}-\dfrac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$

$F=\sqrt{4-2\sqrt{3}}$

$G=\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{\dfrac{21}{25}+\dfrac{1}{25}\times\sqrt{6+\sqrt{103-2\sqrt{\dfrac{9}{4}}}}}}}$

Exercice 6

On donne un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AC=\sqrt{3}-1$ et $BC=2\sqrt{2}$

1. Calculer $AB^{2}$ puis en déduire que $AB=\sqrt{3}+1$

En déduire l'aire du triangle $ABC$

2. Calculer $\dfrac{1}{AC}$ sans radical au dénominateur et en déduire un encadrement de $\dfrac{1}{AC}$ d'amplitude $0.01$ sachant que $1.73<\sqrt{3}<1.74$

Exercice 7

$ABCD$ est un carré de côté $x$

Le point $O$ est le milieu de $[CD]$

Le cercle $(C)$ de centre $O$ et de rayon $OA$ coupe la demi-droite $[DC)$ au point $E.$

Le cercle $(C)$ de centre $O$ et de  rayon $OA$ coupe la demi-droite $[DC)$ au point $E.$

Calculer le quotient $\dfrac{DE}{DA}$

On pose $k=\dfrac{DE}{DA}$

Calcule $k^{2}-k-1$

Exercice 8

$ABCD$ et $CHIJ$ sont des carrés de côtés respectifs.

$5\sqrt{3}-1$ et $\sqrt{27}$

(voir figure ci-dessous)

Calcule :

a. L'aire du carré $ABCD$ ;

b. L'aire du carré $CHIJ$ ;

c. La longueur $AE$

d. Le périmètre du rectangle $CDFJ$ ;

e. L'aire de la surface coloriée ;

f. Le périmètre de la surface coloriée