Chapitre 6 : Repérage - 3ème

PRE-REQUIS

Repères

Vecteurs (programme de quatrième), produit d'un vecteur par un réel, somme de deux vecteurs.

Condition vectorielle d'alignement de trois points.

Parallélisme et orthogonalité de droites.

Théorème de Pythagore

Compétences exigibles

Calculer les coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal.

Calculer les coordonnées du vecteur somme de deux vecteurs.

Reconnaître, à l'aide de leurs coordonnées dans  un repère orthonormal, le vecteur nul, deux vecteurs égaux, deux vecteurs opposés.

Calculer les coordonnées du vecteur produit d'un vecteur par un réel.

Montrer à l'aide de leurs coordonnées que deux vecteurs sont :

$-\ $Colinéaires.

$-\ $Orthogonaux.

Calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées.

Donner une équation générale d'une droite connaissant les coordonnées de deux de ses points.

Reconnaître l'équation d'une droite parallèle à l'axe des abscisses, à l'axe des ordonnées.

Déterminer l'équation réduite d'une droite.

Passer de l'équation réduite à l'équation générale si possible et inversement.

Donner une équation générale d'une droite connaissant les coordonnées d'un point et son coefficient directeur.

Représenter une droite dans un repère orthonormal à partir :

$-\ $de deux de ses points,

$-\ $d'un point et de son coefficient directeur,

$-\ $d'un point et d'un vecteur directeur ou d'une équation.

Donner une équation générale d'une droite connaissant :

$-\ $les coordonnées d'un point et d'un vecteur directeur

$-\ $les coordonnées d'un point et le coefficient directeur de la droite.
 
Reconnaître deux droites parallèles, perpendiculaires à partir de :

$-\ $leurs équations réduites,

$-\ $leurs coefficients directeurs,

$-\ $leurs vecteurs directeurs.

I. Coordonnées d'un vecteur

1. Définition

Considérons un repère orthonormal $\left(O\;,I\;,J\right)$

Étant donné $2$ points $A\left(x_{A}\;,y_{A}\right)$ et $B\left(x_{B}\;,y_{B}\right)$ et un vecteur non nul $u=\overrightarrow{AB}$

$-\ $l'abscisse de $\overrightarrow{AB}$ est le nombre $x_{B}-x_{A}$

$-\ $l'ordonnée de est le nombre $y_{B}-y_{A}$

$x_{B}-x_{A}$ et $y_{B}-y_{A}$ sont coordonnées de $\overrightarrow{AB}$

On note : $\overrightarrow{AB}\left(x_{B}-x_{A}-y_{B}-y_{A}\right)$

Remarques

$U(x\;,y)$ équivaut à $U=x\overrightarrow{OI}+y\overrightarrow{OJ}$

2. Propriétés

a. Vecteurs égaux :

Soient deux vecteur $U(x\;,y)$ et $U' \left(x'\;,y'\right)$ dans un repère orthonormal $(O\;,I\;,J)$ :

$U=U'$ équivaut à $\left(x=x'\text{ et }y=y\right)$

b. Somme de deux vecteurs : Soient deux vecteurs $U(x\;,y)$ et $U'\left(x'\;,y'\right)$

on a $U+U'=\left(x+x'\;,Y+Y'\right)$

c. Vecteur nul :

Le vecteur nul $0$ a pour cordonnée $(0\;,0)$

d. Vecteurs opposés :

Dans un repère $(O\;,I\;,O)$, deux vecteurs sont opposés si et seulement si leurs abscisses et leurs ordonnées sont opposées.

Soient $u(x\;,y)$ et $v \left(x'\;,y'\right)$, $u=-v$ ssi $x=x'$ et $y=-y'$

e. Produit d'un vecteur par un réel :

Étant donné un vecteur  $u(a\;,b)$ et un nombre $k.$

Les coordonnées de $k u$ sont $(ka\;,kb)$

Exemple : prenons $k=2$

f. vecteurs colinéaire : (propriété admise)

Soient deux vecteurs $u(x\;,y)$ et $u'\left(x'\;,y'\right)$ $u$ et $u'$ sont colinéaires équivaut à : $xy'-x'y=0$

g.Vecteurs orthogonaux (propriété admise) :

Soient $\left(O\;,I\;,J\right)$ un repère orthonormal ; deux vecteurs $u(x\;,y)$ et