Composition première semestre 2nd S 2024-2025

Épreuve mathématique

Exercice 1

Pour chacune des questions dans le tableau ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule est correcte.

Pour répondre tu porteras le numéro de la question suivi de la lettre correspondante à la réponse choisie puis tu justifies ton choix.

Chaque réponse correcte est noté

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline N°&&A&B&C\\ \hline &\text{Soit }x\text{ et }y\text{ deux nombres réels }&&&\\ 1&\text{tels que }-2<x<-1\text{ et }4<y<5&-8<xy<-5&2<xy<4&-10<xy<-4\\ &\text{Alors on a :}&&&\\ \hline &\text{Soit }G=\text{ bar }(A\ ;\ 3333\pi)&&&\\ 2&(B\ ;\ 222\pi)\text{ Alors }G\text{ est le }&\left(A\ ;\ \pi\right)\text{ et }\left(B\ ;\ \pi\right)&(A\ ;\ 3)(B\ ;\ 2)&(A\ ;\ 2)(B\ ;\ 3)\\&\text{barycentre des points pondérés }&&&\\ \hline 3&\sqrt{4(2-\sqrt{3)^{2}}}-\sqrt{3(\sqrt{3}-1)^{2}}=&1-\sqrt{3}&-1+3\sqrt{3}&-1-3\sqrt{3}\\ \hline 4&\text{Soit }x\in[-2\ ;\ 1[\;,E(x)\text{est égale :}&-2&-1&1\\\hline &\text{Le nombre décimal }c\text{est une }&&&\\ 5&\text{valeur approchée par défaut de }&c\leq x\leq c+\alpha&c-\alpha\leq x\leq c&c-\alpha\leq x\leq c+\alpha\\ &x\text{ à }\alpha\text{pres signifie que :}&&&\\ \hline  \end{array}$

Exercice 2

Reproduire puis compléter le tableau ci-dessous pour avoir sur chaque ligne des expressions équivalentes

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Inéquation }&\text{Distance }&\text{Intervalle }&\text{Encadrement}\\
\hline |x-3|\leq 1&&&\\ \hline &&&-2\leq x\leq 4\\ \hline &d(x\ ;\ -2)\leq 4&&\\ \hline &&x\in[-5\ ;\ 7]&\\ \hline \end{array}$

Exercice 3

Soit $ABCD$ un parallélogramme et soient $E$ et $F$ deux points du plan tels que : $\overrightarrow{DE }2\overrightarrow{AD}\text{ et }\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

1. Construire une figure de la compléter dans la suite

2. Montrer que $\overrightarrow{CE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}$

3. En déduire que les points $C$, $E$ et $F$ sont alignés

4. Soit $N$ le milieu de $[DF]$ et $M$ un point tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BM}$

a. Exprimer $CM$ et $CN$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$

b. En déduire que $C$ est le milieu $[MN]$

Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle.

On définit les points $H$, $L$ et $G$ par $H=\text{ bar }(A\ ;\ 3)\;,(B\ ;\ 2)$

$k=\text{ bar }(B\ ;\ 3)(C\ ;\ 1)$,

$L=\text{ bar }(A\ ;\ 3)(C\ ;\ 1)$ et $G=\text{ bar }(H\ ;\ 3)(C\ ;\ -1)$

1. Démontrer que $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{O}$

En déduire que :

a. $G$ est le milieu de $[BL]$

b. $G$ est le barycentre des points $A$ et $K$ affectés des coefficients à déterminer.

c. $G$ est le barycentre des points $C$ et $H$ affectés des coefficients à déterminer.

d. Les droites $(BL)$, $(AK)$ et $(CH)$ sont concourantes

e. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tel que :

$\left|\left|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\right|=4$