Concours miss mathématique-prince mathématique 2025

Épreuve : mathématique

Partie 1

Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule est exacte.

Pour répondre, écrire le numéro de l'énoncé et la lettre correspondante à la réponse choisie.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline N^{\ast}&\text{ Enoncé }&\text{Réponses }\\\hline1&\text{Le nombre }&A. 1/5\\&M=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}-\dfrac{3}{2+\dfrac{1}{2}}\text{ est égal à }&B. 13/5\\ &&C. 5/2\\ \hline2&\text{Une forme factorisée de }&A. (x+8)(3x+2)\\ &M=(2x+3)^{2}-(x-5)^{2}=0\text{ sont }&B(x-8)(3x-2)\\ &&C. (x+8)(3x-2)\\ \hline 3&\text{Les solutions de l'équations }&A. S\phi\\ &(x+3)^{2}+(x-5)^{2}=0\text{ sont }&B. S=\lbrace-3\ ;\ 5\rbrace\\ &&C. S=\lbrace\ ;\ -5\rbrace\\ \hline 4&\text{Soit }f\text{ est une application linéaire }&A. f(x)=\dfrac{3}{2}x\\ &\text{telle que l'inverse du tiers de }&B. f(x)=-\dfrac{3}{2}x\\ &f(2)\text{ est }-1\text{ alors son expression est }&C. f(x)=-\dfrac{1}{6}x\\ \hline 5&\text{L'ensemble des solutions }&A. S=]2\ ;\ 3]\\ &\text{du systèmes suivant }&B. S=[2\ ;\ 3[\\ &\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-6\geq 0\\ 5-2x> 1 \end{array}\right.\text{ est }&C. S=\phi\\ \hline 6&\text{Le point de rencontre des hauteurs }&A\text{ Centre de gravité }\\ &\text{d'un triangle est appelé }&B\text{ Centre du }\\ &\text{ cercle inscrit }\\ &&C\text{ Orthocentre }\\ \hline 7&\text{Soient deux points }A\text{ et }B&A. \text{Tangents extérieurement }\\ &\text{tels que }AB=35\,cm.\text{ les }&B\text{ disjoints }\\&\text{cercles }C(A\ ;\ 22)\text{ et }C'(B\ ;\ 57)\text{ sont }&C\text{ Tangents intérieurement }\\ \hline8&I\text{ est le centre de gravité d'un triangle }&A. AI=\dfrac{2}{2}IL\\ &ABC\text{ et }L&B. AI=2IL\\ &\text{le milieu de }[BC].\text{On a}&C. AL=2IA\\ \hline \end{array}$

Partie 2

Exercice 1

$\mathbb{C}$ est un cercle de contre $O$

Démontre que les droites $(AB)$ et $(CF)$ sont perpendiculaires

Exercice 2

Dans la figure ci-dessus, les points  $E$, $G$, $D$ et $C$ sont alignés de même que les points $B$, $C$ et $F.$

$ABCD$ est un carré de coté $\alpha$
 
Démontre que le triangle $AEF$ est rectangle isocèle

Exercice 3

($(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles  et $(AN)$ et $(MB)$  sécantes en $O$

Prouve que les triangles coloriés $AMO$ et $BON$ ont la même aire