Devoir mathématique - 2nd S

Exercice 1

1. Simplifier l'expression suivante :

A : $\dfrac{\left(3^{2}\times 7^{5}\right)^{-3}}{\left(7^{2}\times 3^{-3}\right)^{2}}\times  \left[\dfrac{(7\times 3)^{2})^{2}}{3^{2}\times 7}\right]^{3}$

2. Soit $p$ et $q$ deux réels, démontrer que : $\left(p^{2}q^{3}+p^{3}q^{2}\right)^{2}=p^{4}q^{4}(p+q)^{2}$

Exercice 2

Soient $p$ et $q$ deux réels strictement positifs

1. Montrer que $\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\leq \sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}$

2. Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels positifs :

Démontrer que : $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$

3. Soient $x$, $y$ et $z$ trois réels

a. Démontrer que : $2xy\leq x^{2}+y^{2} (1)$

b. En utilisant $(1)$ et deux autres inégalité analogues démontrer que :

$xy+yz+xz\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

1. $\left|\dfrac{3}{2}x+1\right|=x-1$

2. $\left|x\sqrt{3}-3\right|< 2$

3. $|x+3|+|5-x|=0$

4. $\left|\sqrt{2}x+2\right|>2$

5. $|3x+5|=\left|\dfrac{x}{3}+2\right|$

6. $E(x-5)=-4$