Devoir mathématique - TS1

Dans tout l'exercice, $\theta$ est un réel tel que $0<\theta <\dfrac{\pi}{2}$

On considère dans $C$ l'équation d'inconnue $z$ suivante: $$\left(E_{\theta}\right)\ :\ z^{2}-2z+\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}=0$$

Soit $P_{\theta}$ le polynôme défini par :

$P_{0}(z)=z^{3}-\left(2+i\tan\theta\right)z^{2}+\left(1+\tan^{2}\theta+2i\tan\theta\right)z-i\tan\theta\left(1+\tan^{2}\theta\right)$

1.a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $\left(E_{\theta}\right)$

b. Écrire les solutions de $\left(E_{\theta}\right)$ sous forme exponentielle. 

2.a. Montrer que $P_{\theta}(z)$ admet une unique racine imaginaire pure $z_{0}$

b. Déterminer $z_{1}$ et $z_{2}$ les autres racines de $P_{0}(z)$ avec $J\left(z_{1}\right)>0$
 
3. Dans le plan complexe rapporté à $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$, on considère :

$M_{0}\ :\ i\tan\theta$

$M_{1}\ :\ 1+i\tan`\theta$,

$M_{2}\ :\ 1-i\tan\theta$

a. Montrer que les points $O$, $M_{1}$, $M_{2}$ ne sont pas alignés.

b. Déterminer $\theta$ pour que $\left(OM_{1}\right)$ et $\left(OM_{2}\right)$ soient perpendiculaires. 

c. Déterminer $\theta$ pour que le triangle $OM_{1}M_{2}$soit équilatéral. 

4. Pour tout point $M(z)$ on pose :
$$\dfrac{(z-1)\cos\theta-i\sin\theta}{(z-1)\cos\theta+i\sin \theta}$$

Soit $M'$ le point d'affixe $z$ et $(\Delta)$ la médiatrice de $\left[M_{1}M_{2}\right]$

a. Montrer que, pour $z_{1}$ l'affixe d'un point d'intérêt, on a 
$$Z_{1}=\dfrac{(z-1)\cos\theta-i\sin \theta}{\left(z_{1}-1\right)\cos\theta+i\sin\theta}\in\mathbb{R}$$

b. Interpréter géométriquement le module et un argument de $Z$ 

c. Montrer que si $M\in(\Delta)$ alors $M'$ décrit un cercle

On considère dans un plan $P$ un triangle équilatéral $ABC$ de côté $\alpha$ et on désigne par $I$ le milieu du segment $[BC]$

1.a. Déterminer l'ensemble $\left(E_{1}\right)$ des points $M$ de $P$ tel que
$$\overline{MB}\cdot\overline{MC}=\dfrac{a^{2}}{2}$$

b. Vérifier que $A$ appartient à $\left(E_{1}\right)$ puis tracer $\left(E_{1}\right)$

c. Soit $D$ le symétrique de $A$ par rapport à la droite $(BC)$

2.a. Montrer que pour tout $M$ de $P$ :
$$\overline{MB}\cdot\overline{MC}=MA^{2}$$

Construire $\left(E_{2}\right)$

3.a. Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A\;,2)$, $(B\;,1)$, $(C\;,1)$ 

Montrer que $G$ est le
milieu de $[AI]$

b. Montrer que pour tout point $M$ de $P$ :
$$MA^{2}\overline{MB}\cdot\overline{MC}=2MG^{2}+GA^{2}+\overline{OB}\cdot \overline{GC}$$

4. Déterminer, suivant les valeurs de $k\in\mathbb{R}$, l'ensemble $\left(C_{k}\right)$ des points $M$ de $P$ tels que
$$MA^{2}+\overline{MB}\cdot\overline{MC}=k$$

5. Pour quelles valeurs de $k\left(C_{k}\right)$ est-il tangent à $\left(E_{1}\right)$?

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2.$

On considère la fonction $f_{n}$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$$f_{n}(x)=\dfrac{x}{n}-\mathrm{e}^{-nx}$$

1.a Calculer les limites $\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}f_{n}(x)$ et $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}f_{n}(x)$

b. Étudier les branches infinies de la courbe $C_{n}$ représentative de $f_{n}$

2. Calculer la dérivée $f_{n}^{'}(x)$ puis dresser le tableau des variations de la fonction $f_{n}$ 

3.a. Montrer que l'équation $f_{n}(x)=0$ admet dans $\mathbb{R}$ une seule solution que l'on notera $\alpha_{n}$.

b. Montrer que $f_{n}\left(\dfrac{1}{n}\right)<0$

c. Montrer que pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}\geq x+1$

En déduire que $f_{n}(1)>0$

d. En déduire que $\dfrac{1}{n}<1$

4. Tracer la courbe $C_{2}$ (on donne $\alpha_{2}\simeq)$

5. a. Montrer que pour tout entier naturel $n\geq 2$ on a :
$$f_{n+1}\left(\alpha_{n}\right)=\dfrac{n\mathrm{e}^{-(n+1)\alpha_{n}}}{n+1}\left(\mathrm{e}^{\alpha_{n}-\dfrac{1}{n}-1}\right)$$

b. En déduire que pour tout $n\geq 2$ on a $f_{n+1}\left(\alpha_{n}\right)\geq 0$

c. Montrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)_{n\geq 2}$ est décroissante et qu'elle converge. 

d. Montrer que pour tout $n\geq 2$ on a
$$\dfrac{\ln n}{n}<\alpha_{n}<\dfrac{2\ln n}{n}$$

En déduire la limite de la suite $\left(\alpha_{n}\right)_{n\geq 2}$

Problème

Soit $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ et $f_{n}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_{n}(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{x^{n}}{1+\ln(1-x)'}x&<&0\\ 0x&=&0\\
\dfrac{x\ln x}{x+n}&=&>& \end{array}\right.$$

On note $\left(C_{n}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ d'unité 0 $3\,cm$

Partie A

1. Soit la fonction $h_{n}$ définie sur $]-\infty\;,0[$ par
$$h_{n}(x)=n+n\ln(1-x)+\dfrac{x}{1-x}$$

a. Calculer les limites de $h_{x}$ aux bornes de son ensemble de définition.

b. Dresser le tableau de variations de $h_{n}$

c. En déduire le signe de $h_{n}(x)$ suivant les valeurs de $x$

2. Soit $g_{g}$ définie sur $]0\;,+\infty[$

a. Préciser les limites de $g_{n}$ aux bornes de son ensemble de définition.

b. Étudier le sens de variation de $g_{n}$ 

c. Montrer que  $g_{n}(x)=0$ admet une unique solution $\alpha_{n}\in]0\;,+\infty[$

d. Montrer que $\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2}}<\alpha_{n}<\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ et donner le signe de $g_{n}$

Partie B

1. Pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$
 déterminer le signe de $\dfrac{1+\ln(1+x)}{x^{n}}$ sur $]-\infty\;,0[$

2. En remarquant que
$$\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}f_{n}(x)=\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}\dfrac{1}{1+\ln(1-x)x^{n'}}$$

calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}$ et $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}f_{n}(x)$

3. Étudier la continuité et la dérivabilité de $f_{n}$ en $0$ (distinguer $n=1$ et $n\neq 1)$
 
4. Interpréter géométriquement les résultats. 

5. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$
$$f_{n}'(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{x^{n-1}h_{n}(x)}{\left(1+\ln(x-1)\right)^{2}'}x&<& 0\\
\dfrac{g_{n}(x)}{(x+n^{2'}}x&>&0. \end{array}\right.$$

6. En déduire les variations de $f_{n}$

7. Montrer que $f_{n}\left(\alpha_{n}\right)=-\dfrac{a_{n}^{n}}{n}$ puis calculer $\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}f_{n}\left(\alpha_{n}\right)$

8. Étudier les positions relatives des courbes $\mathbb{C}_{n+1}$ et $C_{n}$ suivant la parité de $n$

9. Tracer les courbes $C_{1}$ et $C_{n}$ dans le repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

Partie C

1. Pour tout réel $x\in[0\;,1]$, on pose
$$F_{n}(x)=\int_{x}^{1}f_{n}(t)dt$$

Montrer que $F_{n}$ est continue sur $[0\;,1]$ 

2. On définit ainsi la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^{\ast}}$ par
$$u_{n}=F_{n}(0)=\int_{0}^{1}f_{n}(t)dt$$

On se propose d'étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ 

3. On pose, pour tout $x\in]0\;,;1]$
$$k_{n}(x)=\dfrac{1}{n}\int_{x}1t\ln tdt$$,

$J_{n}(x)=\dfrac{1}{n^{2}}\int_{x}^{1}t^{2}\ln t dt$

a. Calculer, en fonction de $n$ et $x$, chacune des intégrales $k_{n}(x)$ et $J_{n}(x)$

b. Montrer que pour tout  $t\in[0\;,1]$ on a
$$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^{2}}\leq \dfrac{1}{t+n}\leq \dfrac{1}{n}$$

c. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ et tout $x\in[0\;,1]$ on a
$$k_{n}(x)\leq F_{n}(x)\leq k_{n}(x)-J_{n}(x)$$

d. Montrer alors que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$
$$-\dfrac{1}{4n}\leq u_{n}\leq-\dfrac{1}{4n}+\dfrac{1}{9n^{2}}$$

e. En déduire que  $\left(u_{n}\right)n\in\mathbb{N}^{\ast}$ est convergente et déterminer sa limite. 

f. Donner un encadrement de $A_{1}$, aire du domaine plan limité par les axes, la droite d'équation $x=a_{1}$ et la courbe $\left(C_{1}\right)$

Partie D

On admet que $f_{1}$ est bijective sur $[1\;,+\infty[$ et on note $f_{1}^{-1}$sa réciproque. 

Soit $F$ la fonction définie sur $[1\;,+\infty[$ par
$$F(x)=\int_{1}^{2x}f_{1}(t)dt$$

a. Justifier l'existence de $F(x)$ pour tout $x\geq 1$ 

b. Montrer que $F$ est dérivable pour $x\geq 1$ puis calculer $F'(x)$

c. Soit $x>1$

a. Montrer que pour tout $t\in[1\;,x]$
$$\dfrac{t \ln t}{x+1}\leq f_{t}(t)\leq \dfrac{1}{2}t\ln t$$

b. En déduire un encadrement de la fonction $F(x)$ sur $[1\;,+\infty[$ 

c. Préciser $\lim\limits _{x\longrightarrow +\infty}F(x)$ et $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}\dfrac{F(x)}{x}$ 
 
En déduire la branche infinie de la
courbe $(C)$ de $F$

d. Dresser le tableau de variation de $F$, puis donner l'allure de la courbe $(C)$ dans le repère.