Olympiade de mathématiques 2021 classe de cinquième-quatrième

Exercice 1 :

L'usine de savons

Une usine de savons fabrique des caisses ayant la forme d'un parallélépipède rectangle pouvant contenir chacune au maximum $24$ savons.

Elle décide de fabriquer des caisses « grand modèle » en triplant les dimensions des petites caisses. Combien de savons, une caisse « grand modèle » pourra-t-elle contenir ? Justifie ta réponse.

$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

Exercice 2 :  

Calcul d'aire ?

Utilise les informations de la figure ci-dessous admettant un axe de symétrie pour calculer l'aire exacte de la partie non coloriée.

Justifie ta réponse

$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

Exercice 3 :

Les quatre robinets et le bassin

On dispose de $4$ robinets ouverts simultanément pour remplir un bassin.

Le premier le remplit en un jour, le deuxième en deux jours, le troisième en trois jours et le quatrième en quatre jours.

Détermine la durée de remplissage du bassin en heures minutes et secondes.

$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

Exercice 4 :

Le nombre mystère !!!

Il est le plus petit entier naturel divisible par $5$ et dont la somme de ses chiffres est $40.$

Trouve ce nombre

$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

Exercice 5 :

Qui suis-je ?

Je suis un nombre de $4$ chiffres divisible par $3$ et par $5.$

Je suis entre $1700$ et $3100.$

Le nombre formé par mes deux derniers chiffres est un multiple non nul de $4.$

Mon nombre de centaines est un multiple de $8.$

Qui suis-je ?

$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

Exercice 6

Un peu d'arithmétique

Détermine le plus grand entier naturel $n$ tel que :
$$2^{n}\text{divise }2^{5}\times 8^{7}\times\left(48^{2}\right)^{3}\times 90^{2}$$

$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

Exercice 7 :

$\Delta$ la nouvelle opération !!!

On considère dans l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels l'opération $\Delta$ définie par : pour tous entiers $p$ et $q$ avec $p\leq q$, $p\Delta p$ est la somme des entiers compris entre $p$ et $q$ au sens large.

Exemple : $3\Delta 7=3+4+5+6+7=25$

Soit $m$ un entier naturel non nul, calcule

$\dfrac{(2\,m-1)\Delta(2\,m+1}{(3\,m-1)\Delta(3\,m)\Delta(3\,m+1)}$

$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$$

Exercice 8 :

Sais-tu ranger des nombres ??

Range dans l'ordre croissant les nombres suivants en justifiant :

$A=\dfrac{100^{41}}{50^{41}}$,

$B=18^{17}$ et

$C=4^{34}$

$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

Exercice 9 :

Le drapeau

Chaque côté d'un rectangle est divisé en $3$ segments de même longueur ;

les points obtenus sont reliés au centre du rectangle de manière à obtenir
 
le drapeau ci-dessous

Combien vaut le quotient de l'aire de la partie blanche par celle de la partie grisée.

$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \ldots\ldots$

Exercice 10 : 

Le triangle $JIK$

$JKL$ est un triangle, R un point du segment $[IK]$ et $0$ le milieu de $[JR]$ Soit $S$ et $T$ les symétriques respectifs de $I$ et $K$ par rapport à $O$

1. Fais la figure dans le cadre