Olympiades nationales de mathématiques niveau collège

Problème 1 :

Dans la figure ci-dessous, $ABCD$ est un quadrilatère de périmètre $p.$

Démontre que :

$\dfrac{P}{2}\leq AC+BD\leq p$

Problème 2 :

Trouve tous les nombres de deux chiffres qui augmentent de $75\%$ lorsqu'on permute leurs deux chiffres.

Problème 3 :

En justifiant ta réponse, range dans l'ordre croissant les nombres $2^{75}$ ; $3^{50}$ ; $5^{25}$ et $7^{23}$

Problème 4 :

Soit $ABCD$ un parallélogramme.

Soit $K$ un point du segment $[BC]$ et soit $L$ un point du segment $[CD]$ tels que $CK=CL$

Démontre que la bissectrice de $\overbrace{DAB}$ et la droite $(KL)$ sont perpendiculaires.

Problème 5 :

Trois carrés sont disposés cote à cote
comme indiqué dans la figure ci-dessous

Calcule $a+\beta$ Justifie ta réponse