EXERCICE N°1

I. Recopie et complète les phrases suivantes :

a- Soit m un nombre rationnel positif ou nul. On appelle racine de $m$, …………..… On le note …………

b- Deux nombres réels $a$ et $b$ sont des opposés si et seulement si …………….

c- Deux nombres réels $a$ et $b$ sont de inversés si et seulement si …………………….

d- Soit $a$ et $b$ deux réels tels que a soit positif : $(\sqrt{a)^{2}} = ………..…. ; \sqrt{ab^{2}} =……...…\sqrt{ …}$

e- $a$ et $b$ étant deux réels négatifs $a^{2} > b^{2}$ si seulement si ………………………..

f- si $a ∈ \mathbb{R}$ et $b ∈ ℕ$ , alors $(a\sqrt{b})^{2}$
= ……..…

II. Dans chaque cas, choisir la bonne réponse.

1. L’opposé du réel $\sqrt{7}$ est le réel : a)$ − \sqrt{7}$ b)$\sqrt{−7}$ c)$(\sqrt{7})−1$

2. Le réel $3\sqrt{7} − \sqrt{2}$ est : a) égal à $3\sqrt{5}$ b) égal à $2\sqrt{5}$ c) Irréductible

3. L’expression conjuguée du réel $−4 − \sqrt{3}$ est : a) $− 4 + \sqrt{3}$ b) $4 − \sqrt{3}$ c) $− \sqrt{3} − 4$

4. Le réel $(2\sqrt{3})^{2}$ est égal à : a)6 b)$12$ c)$36$

5. Le réel $\sqrt{27} + \sqrt{12}$ est égal à : a) $5\sqrt{3}$ b) $13\sqrt{3}$ c) $\sqrt{39}$

6. $\sqrt{2} \times 2\sqrt{3}$ est égal à: a)$\sqrt{36}$ b) $2\sqrt{6}$ c)$12$

7. $(\sqrt{5} − \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3} )$ est égal à: a) $2\sqrt{15}$b) $2$ c)$√5$

8. $|1 − 2\sqrt{2}|$ est égale à : a) $1 − 2\sqrt{2}$ b) $ 2\sqrt{2} + 1$ c) $2\sqrt{2} − 1$

9. Quelle est la valeur du réel $T = \sqrt{3}− \sqrt{5} × \sqrt{3} + \sqrt{5}$ ? a) $4 $b)$ 2$ c) $6$

10. Quelle est la valeur du réel $\dfrac{5}{6} \sqrt{\dfrac{36}{5}}$ ? a) $\dfrac{1}{6} \sqrt{36}$ b)$\sqrt{6}$ c$)\dfrac{5}{11}$. 

11.Quel est le réel qui est égal à $\dfrac{\sqrt{(1− \sqrt{5})^{2}}}
{\sqrt{5}}$ ? a)$ 1 − \dfrac{\sqrt{5}}{5}$ b) $− 1 +\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ c) $6 + 2\sqrt{5}$

12. Quel est le réel qui est égal à $\sqrt{(1− √2)^{2}−(1+ √2)^{2}
(\sqrt{2})^{2}}$ ? a) $− 2\sqrt{2}$ b) $− 1$ c)$ 2$

13. $\sqrt{2 − \sqrt{9 − 2\sqrt{18 − \sqrt{4}}}} =$ a) $1$ b) $\sqrt{2}$ c) $0$

III. Parmi les nombres suivants, entoure ceux qui sont égaux à $\sqrt{25}$ :

$5 ; − 5 ; 5^{2} ; \sqrt{(−5)^{2}}; \sqrt{5^{2}}; 25$

EXERCICE N°2

1. Racines carrées et inverses

a) Quand dit-on de deux nombres qu'ils sont inverses l'un de l'autre ?

b) Vérifie que les nombres suivants sont inverses. •$\sqrt{2}$ et $\sqrt{\dfrac{1}{2}}$ •$\sqrt{2}$ et $\sqrt{\dfrac{2}{2}}$

c) Quel est l'inverse de $\sqrt{\dfrac{3}{7}}$ ? Justifie ta réponse.

2. Réponds par vrai $(V)$ ou faux $(F)$ en justifiant ta réponse :

a)$ \sqrt{40}=20$

b) $7\sqrt{2} =\sqrt{98}$

c)$ \sqrt{64 + 25} = 8 + 5=13$

d) Si $m < 0$ alors $\dfrac{m}{m^{2}} = 1$

e)$\sqrt{19 − \sqrt{1 + \sqrt{64}}} =4$

f) Les nombres $\sqrt{27} + \sqrt{3}$ et $\sqrt{48}$ sont égaux.

g) Les nombres $2\sqrt{3} − \sqrt{11}$ et $2\sqrt{3} + \sqrt{11}$ sont
inverses.

h) Les nombres $\sqrt{12} − 4$ et $−2(\sqrt{3} − 2)$ sont opposés.

I. Sans utiliser les valeurs approchées, montre que trois de ces nombres sont égaux :
$A = \sqrt{5} + \sqrt{5}; B = \dfrac{\sqrt{500}}{5} ; C = 2\sqrt{5} × \sqrt{5}; D = \sqrt{20}$ et $E = \sqrt{5} + 5$

II. Calculer les expressions suivantes :

$E = \sqrt{100 + 64} ; F = (\sqrt{5})^{2}+ (5\sqrt{3})^{2}; G = (6\sqrt{2})^{2}
− (4 + (\sqrt{3})^{2}); H = \sqrt{\dfrac{49}{100}} + \dfrac{\sqrt{3}}{10}$

III. On donne les expressions suivantes: $\sqrt{(−3)^{2}}; \sqrt{−3^{2}}; −(\sqrt{3})^{2}$ et $(−\sqrt{3})^{2}$.

a) Quelle est celle qui n’a pas de sens?

b) Quelles sont celles qui représentent des réels égaux?

c) Quelles sont celles qui représentent des réels opposés?

EXERCICE N°4

1. Ecrire sans radical et sans calculatrice les réels suivants :

$\sqrt{16} ; \sqrt{25} ; \sqrt{81} ; \sqrt{0,025} ; \sqrt{0,81} ; \sqrt{0,01}; \sqrt{0,64} ; \sqrt{0,0049} ; \dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{121}} ; \dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{49 }};\sqrt{\dfrac{36}{49}} ; \sqrt{\dfrac{16}{9}}$

2. Calculer :

$\sqrt{3 + 9} ; 2\sqrt{100} ; 5\sqrt{9} − 7 ; \sqrt{\sqrt{16}} ; \sqrt{\sqrt{81}} ; \sqrt{3\sqrt{100} + 6} ;\dfrac{\sqrt{144} − \sqrt{16}}{\sqrt{25} + \sqrt{9}} ; \sqrt{31 + \sqrt{21 + \sqrt{9 + \sqrt{49}}}}$

EXERCICE N°5

Donner une écriture simplifiée des sommes algébriques suivantes :

$A = 5\sqrt{200} − 6\sqrt{98} + \sqrt{50} − 10\sqrt{2} + \sqrt{9} ; B = \sqrt{18} + 16\sqrt{8} − 32\sqrt{2} − \sqrt{9} ;C = \sqrt{121} − 2\sqrt{112} − \sqrt{81} + \sqrt{63} ; D = \sqrt{18} + 2\sqrt{50} + 3\sqrt{32} ; E = 2\sqrt{27} − 3\sqrt{300} + 4\sqrt{48} − \sqrt{192} ;$

$F = 5\sqrt{20} + 6\sqrt{5} − 2\sqrt{45} + \sqrt{80} ; G = 5\sqrt{18} − 2\sqrt{8} + 3\sqrt{98} + \sqrt{72} ; H =\sqrt{45} + \sqrt{196} − \sqrt{180} − \sqrt{245} ;I= \sqrt{192} − \dfrac{2}{3}\sqrt{27} − \sqrt{12} + \sqrt{3} ; J= \sqrt{\dfrac{16}{28}} − \sqrt{\dfrac{125}{49}} − \sqrt{\dfrac{25}{7}} ; $

$K= \dfrac{2}{5} \sqrt{\dfrac{50}{16}} + 3 \sqrt{2} − \dfrac{1}{4}\dfrac{8} ;L = 2\dfrac{20} − \sqrt{45} + \sqrt{125} ; M = \sqrt{96} − 2\sqrt{6} + 2\sqrt{24} − 3\sqrt{54} ; N = −\sqrt{40} − 3\sqrt{160} − 2\sqrt{90} ;$    

EXERCICE N°6

1. Développer et réduire les écritures suivantes

$A = \sqrt{3}(4 + 2\sqrt{3}) ; B = \sqrt{5}(2\sqrt{5} + 3\sqrt{15}) ; C = \sqrt{6}(3 − \sqrt{6}) ; D = 7(\sqrt{3} − \sqrt{2})$.

$F = (\sqrt{5} + 1)^{2}; G = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}; H = (2 + \sqrt{2})^{2}; I = (2\sqrt{3} + 1)^{2}; J = (3 + 2\sqrt{5})^{2};K = (2 − \sqrt{5})2; L = (\sqrt{3} − 4)^{2}; M = (1 − 3\sqrt{2})^{2}; N = (2\sqrt{3} − 3\sqrt{2})2; O = (5 − 2\sqrt{6})^{2};P = (\sqrt{3} − 4)(\sqrt{3} + 4) ; Q = (3 + 2\sqrt{5})(3 − 2\sqrt{5}) ; R = (1 − 3\sqrt{2})(1 + 3\sqrt{2}) ;S = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} − \sqrt{2}); T = \sqrt{\sqrt{5}} − 2 × \sqrt{\sqrt{5}} + 2; U = \sqrt{2} + \sqrt{3} × \sqrt{2} − \sqrt{3} ;V = \sqrt{(5 + 3\sqrt{2})} × \sqrt{(5 − 3\sqrt{2})} ; W = \sqrt{3\sqrt{2} − 2\sqrt{3}} × \sqrt{3\sqrt{2} + 2}$

2. Montrer par le calcul que les nombres réels $A ; B$ et $C$ sont égaux.

$A =\dfrac{3\sqrt{27}−\sqrt{75}}{4} ; B = (2 − \sqrt{3})(2\sqrt{3} + 3) ;C = \sqrt{300} − \sqrt{48} − \sqrt{75}$

EXERCICE N°7

1. Rendre rationnel les quotients suivants :

$A = \dfrac{3}{2\sqrt{5}} ; B =\dfrac{ \sqrt{2}}{1−\sqrt{3}} ; C = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}; D = \dfrac{−3}{2\sqrt{3}−3\sqrt{2}} ; $

$E =\dfrac{ 2−3\sqrt{5}}{2+3\sqrt{5}} ; F = \dfrac{3}{\sqrt{7}} ; G =\dfrac{ 3+\sqrt{5}}{\sqrt{5}} ; H =\dfrac{3}{\sqrt{2}−1 }; I = \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} ;$

$J = \dfrac{\sqrt{7}− \sqrt{5}}{2\sqrt{35}} ; K =\dfrac{ \sqrt{5}−2}{\sqrt{5}+2} ; L = \dfrac{5\sqrt{3}+\sqrt{2}}{5\sqrt{3}−\sqrt{2} }; $

$M = \dfrac{5}{a+\sqrt{2}} ; N =\dfrac{1}{a−\sqrt{2}} ; O = \dfrac{4\sqrt{17}}{7−\sqrt{2}} ; P =\dfrac{ 4\sqrt{7}+3}{2\sqrt{7}−6}$

2. Compare les nombres suivants :

$\sqrt{5}$ et $\sqrt{2} ; 9$ et $4\sqrt{5} ; 2$ et $\sqrt{3} ; 4$ et $\sqrt{18} ; 2\sqrt{2}$ et $\sqrt{11} ; \sqrt{23}$ et $2\sqrt{5} ; 5\sqrt{2}$ et $3\sqrt{5}$

3. Préciser le signe de : $\sqrt{5} − \sqrt{2} ; 9 − 4\sqrt{5} ; 2 − \sqrt{3} ; 4 − \sqrt{18} ; 2\sqrt{3}− \sqrt{11} ;\sqrt{23} − 2\sqrt{5} ; 5\sqrt{2} − 3\sqrt{5}$

EXERCICE n°8

Ecris les nombres ci-dessous sans le symbole de la valeur absolue.

$A=|\sqrt{2} + 3| B=|3 − 2\sqrt{2}| C=|9 − 4\sqrt{5}| D=|3\sqrt{2} − 2\sqrt{3}| E=\sqrt{(\sqrt{5} − 3)^{2}}$

$F=\sqrt{(7 − 2\sqrt{7})^{2}} − \sqrt{(5 + \sqrt{7})^{2}} G=\sqrt{(2\sqrt{2} − 1)^{2}}− \sqrt{(3 + \sqrt{2})^{2}}$

EXERCICE N°9

Donner un encadrement de :

$A=12 − 7\sqrt{2}$ sachant que $1,414 < \sqrt{2} < 1,414$ à $10^{−2}$ prés

$B=15 − 3\sqrt{3}$ sachant que $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$ à $10^{−2}$ prés.

$C=−11 − 10\sqrt{2}$ sachant que $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$ à $10^{−1}$ prés

$D=9 + 5\sqrt{3}$ sachant que $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$ à $10^{−2}$ prés.

$E= 7 − 3\sqrt{5}$ sachant que $2,236 < \sqrt{5} < 2,237$ à $10^{−2} $prés.

On donne trois réels $a, b$ et $c$ tels que : $a = 7 − 5\sqrt{2} ; b = −7 − 5\sqrt{2}$ et $c = −7 + 5\sqrt{2}$ ;

1) Démontre que le réel a est l'inverse du réel $b$.

2) Justifie que $a$ et $c$ sont opposé.

3) Démontre que $\dfrac{b}{a} − \dfrac{c}{b} = b^{2} + c^{2}$.

4) Calcule $a^{2}$ puis déduis-en une écriture simplifiée du réel $= \sqrt{99 – 70\sqrt{2}}$ .

Exercice N°10 BFEM 2020

1. Réponds par vrai ou faux dans chacun des cas suivants :

a. Si $m< 0$ alors $\dfrac{m}{\sqrt{m^{2}}} = −1$.

b. Les nombres $2 + \sqrt{3}$ et $2 − \sqrt{3}$ sont des inverses.

c. L’inverse de $\sqrt{5} + 1$ est $\dfrac{1}{1 − \sqrt{5}}$.

2. Soit $m$ un entier relatif, on pose $x = m − 2\sqrt{6}$ et $= m+ 2\sqrt{6}$. 

Détermine $m$ pour que $x$ et $y$ sont inverses.

3. On pose : $p = 5 − 2\sqrt{6}$ et $q= 5 + 2\sqrt{6}$

a. Exprime $p$ en fonction de $q$.

b. Déduis-en que $p^{2} = \dfrac{p}{q}$ .

c. Calcule $p^{2}$ et $q^{2}$.

d. Déduis-en une écriture simplifiée de $E = \sqrt{49 + 20\sqrt{6}} + \sqrt{49 − 20\sqrt{6}}$ .

Exerce N°10 BFEM 2021

1. On considère les réels suivants :

$A = (2 − \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})^{2}; B = 3\sqrt{12} − \dfrac{1}{2} \sqrt{108} − \sqrt{8} × \sqrt{2}; a = −3\sqrt{3} + 4; b = −2 − \sqrt{5}; c = 2 + \sqrt{5};d = 3\sqrt{3} − 4$.

Parmi les réels $a ; b ; c$ et $d$ , indique celui qui est égal à $A$ et celui qui est égal à $B$.

2. On donne : $x = \dfrac{−1}{3−2\sqrt{2}} y = \sqrt{\dfrac{1}{2}} − \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ et $z = \sqrt{\dfrac{1}{2}} + \sqrt{\dfrac{3}{2}}$

a) Montre que $x = −3 − 2\sqrt{2}$ puis donne un encadrement de $x$ 
à $10^{−1}$ prés sachant que $1,414 < \sqrt{2} < 1,414$.

b) Calculer $y^{2}$ et $z^{2}$

c) Déduis de la question précédente que $\sqrt{2} − \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{6}$

Exercice N°11 BFEM 2008

On donne $a = \sqrt{7} + 4\sqrt{3}$ et $b = \sqrt{7} − 4\sqrt{3}$.

1. Calculer $a^{2} ; b^{2}$ et $a×b$. 

Que peut-on dire $a$ et $b$

2. Calculer $(a + b)^{2}$ et $(a − b)^{2}$.

3. Justifier que $a + b = 4$ et $a – b = 2\sqrt{3}$.

Exercice N°11 BFEM 2011

On donne : $m = 1 − 2\sqrt{3} ; p = \sqrt{13} − 4\sqrt{3}$ et $q = \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}$.

1. Montrer que $m$ est négatif.

2. Calculer $m^{2}$ puis déduis-en que $p$ et $m$ sont opposés.

3. Encadrer $m$ à $10^{−2}$ prés sachant que : $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$.

4. Montrer que $p × q = 11$.

Exercice N°13 BFEM 2012

1. Soit $t = \sqrt{45} + \sqrt{196} − \sqrt{180} − \sqrt{245}$ . 

Ecris t sous la forme $a + b\sqrt{c}$.

2. On donne les réels $x =\dfrac{4}{7 + 3\sqrt{5}}$ et $y = 3\sqrt{5} − 7$ .

a) Ecris $x$ avec un dénominateur rationnel.

b) Justifier que $y$ est négatif.

c) Justifier que : $x = −y$

d) Encadre $x$ à 10^{−2 prés sachant que $2, 236 < \sqrt{5} < 2,237$.

e) On pose $z = (x − y)^{2}$. 

Justifier que $\sqrt{z} = −2y$.

Exercice N°14 BFEM 1999

1. On pose $a = 1 + \sqrt{5}$ et $b = 1 − \sqrt{3}$. 

Calculer $a^{2}$ et $b^{2}$ .

2. Simplifier $c = \dfrac{1+\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}}$ puis rendre rationnel son dénominateur.

3. Montrer que $a$ et $c$ sont des inverses.

4. Montrer que $d = \dfrac{2 − \sqrt{12}}{\sqrt{4−2\sqrt{3}}}$ est un entier relatif qu’on déterminera.

Exercice N°15 BFEM 2016

Soit $m$ et $n$ deux réels tels que :$ m = 4 − 3\sqrt{2}$ et $n = 2 + \dfrac{3}{2}\sqrt{2}$ .

a) Montre que le réel $m$ est négatif.

b) Montre que $m^{2} = 34 − 24\sqrt{2}$ puis Calcule $n^{2}$ .

c) On donne $Z =\sqrt{34 − 24\sqrt{2}}$ . 

Écris $Z$ sous la forme $a + b\sqrt{2}$ avec $a$ et $b$ deux entiers relatifs.

d) Justifie que$ m^{2} + 4n^{2} = 68$.

Exercice N°16 BFEM 2023

1) Ecris l’expression $E = \sqrt{(3 − 3\sqrt{2})^{2}} + \sqrt{50} − 7\sqrt{32} + \sqrt{9}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ des entiers relatifs,$b$positifs.

2) On pose $p =\dfrac{ 2\sqrt{3}− 2}{\sqrt{3}+ 2 }$ et $p = \dfrac{1}{6\sqrt{3}− 10}$. 

Montre que $p$ et $q$ sont des inverses.

3) On considère les réels $x$ et $y$ telque $x = 6\sqrt{3} − 10$ et $y = \sqrt{208} − 120\sqrt{3}$ .

a) Détermine le signe de $x$.

b) Calcule $x^{2}$. 

Déduis-en une écriture simplifie de $y = \sqrt{208} − 120\sqrt{3}$.

c) Encadre le réel $x$ à $10^{−2}$ prés sachant que $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$.

Exercice N°17

On donne les réels $a = 3 − \sqrt{7}$ et $b = 8 − 3\sqrt{7}$

a) Montrer que les réels a et b sont strictement positifs.

b) Vérifier que $a^{2} = 2b$.

c) En déduire que $\sqrt{8} − 3\sqrt{7} = \dfrac{3\sqrt{2}−\sqrt{14}}{2}$ .

d) Justifier que $c = \dfrac{3\sqrt{7}−9}{\sqrt{16−6\sqrt{7}}}$ est un entier relatif.

Exercice N°18

On considère les réels positifs $x$ et $y$ tels $x = \sqrt{5} + 2\sqrt{6}$ et $y = \sqrt{5} − 2\sqrt{6}$

1) Montrer que $x × y = 1$

2) On pose : $u= x + y$ et : $v = x − y$

a) Calculer $u^{2}$ et $v^{2}$ et en déduire $u$ et $v$

b) Vérifier que $x =\dfrac{ u+v}{2}$ et $y =\dfrac{ u-v}{2} $

Exercice N°19

1. On donne : $I = \sqrt{72} − 3\sqrt{75} − \sqrt{8} + 4\sqrt{27}$ et $J = \sqrt{3} − \sqrt{147} + \sqrt{300}$

a. Ecris I sous la forme $m + n\sqrt{3}$ où $m$ et $n$ sont des entiers relatifs.

b. Ecris $J$ sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a \in Z$ et $b \in IN$.

2. Soit $C = \dfrac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{2}−3\sqrt{3}}$ , rends rationnel le dénominateur de $C$.

3. Soit $x = 3\sqrt{3} − 4\sqrt{2}$ et $y = \sqrt{59 − 24\sqrt{6}}$

a. Compare $3\sqrt{3}$ et $4\sqrt{2}$ en déduire le signe de x.

b. Calculer $x^{2}$ et en déduire une simplification de $y$.