Exercice N°1

I. Réponds par vrai ou faux à chacune des affirmations suivantes.

1. FEG est un triangle, $M \in [FE]$ et$ N\in [FG]$ tel que $(MN)//(EG)$, d’après la réciproque du théorème de Thalès $\dfrac{FM}{FE} = \dfrac{FN}{FG}$.

2. Si MAN est un triangle, $M, I, A$ d’une part et $M, J, N$ d’autre part sont alignés dans le même ordre et $\dfrac{MI}{MA} = \dfrac{MN}{MJ}$ alors $(IJ)//(AN)$.

3. Si $ABC$ est un triangle,$ K\in [BC]$ et la parallèle à $(AB)$ passant par $K$ coupe $[AC]$ en J alors $CKJ$ et$ CBA$ sont des triangles en position de Thalès.

4. Si deux triangles sont en position de Thalès alors les supports de deux de leurs côtés sont parallèles.

II. Recopie et remplace les pointillés par le mot ou groupe de mots qui convient :

a) Si $ABC$ est un triangle, $M \in [AB]$ et$ N \in [AC], (MN) // (BC)$ alors … … … ..

b) Si $MEN$ est un triangle ; $M, A, E$ et $M, B, N$ sont alignés dans le même ordre et $\dfrac{MA}{ME} = \dfrac{MB}{MN}$ alors $(AB)……….. (EN)$

Exercice N°2

Soit la figure ci-dessous:

Les droites $(RT)$ et $(AN)$ sont parallèles.

Calculer $IA$

Exercice N°3

Considérons la figure ci-dessous dans laquelle les points $E, A$ et $C$
sont alignés ; les points $F, A$ et $F$ sont alignés ; $AF = 12cm ;
AC = 5cm ; AB = 7,5cm$ et $AE = 8cm$.

Montrer que les droites $(BC)$ et $(FE)$ sont parallèles.

NB : La figure n’est pas à dimension réelle et n’est pas à reprendre.

Exercice N°4

$EFG$ est triangle tel que $EG = 4,5cm; EG = 3,6cm$ ; et $FG = 6cm. D$ est un point du segment $EG$ tel que $DE= 2,4cm$ et le point $K$, l’intersection de la droite $EF$ et la parallèle à la droite $FG$ passant par le point $D$.

1- Faire la figure

2- Calculer les distances $EK$ et $DK$.

Exercice N°5

1. Construis $ABC$ rectangle en A tel que $AB=8cm$ et $AC=6cm$.

2. Calculer $BC$

3. Placer un point $M$ tel que $AM = 1$

3 AB. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $N$.

4. Comparer les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$.

5. En déduire que $AN = \dfrac{1}{3} AC$.

Exercice N°6

Soit $ABC$ un triangle telque $AB = 5cm, AC = 6cm$ et $BC = 8cm$.

1. Soit $M$ un point du segment $[AB]$ telque $AM = 2cm$, la parallèle à $(BC)$ passant par$M$ coupe $(AC)$ en $N$.

Calculer $AN$ et $MN$.

2. Soit $E$ un point de la demi-droite $[AB)$ telque $AE = 12,5cm$. 

Montrer que $(BN)$ est parallèle à $(CE)$.

3. Soit $I$ le milieu du segment$ [BC]$, la parallèle à $(AI)$ passant par $M$ coupe $(BC)$ en $H$ et$(AC)$ en $K$.

a) Comparer $\dfrac{BH}{BI}$ et $\dfrac{ MH}{AI}$ puis $\dfrac{CH}{CI}$ et $\dfrac{HK}{AI}$ .

b) Montrer que $MH + HK = 2AI$.

Exercice N°7

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ telque $AB = 9cm$.

1. a) Construire le point $I$ de $[AB]$ telque $AI = \dfrac{1}{3} AB$ et le point $J$ de $[AC]$ telque $CJ = \dfrac{2}{3} AC$

c) Evaluer $\dfrac{AI}{AB}$ et $\dfrac{AJ}{AC}$ .

d) Déduire que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles.

e) Calculer$ BC$ puis $IJ$.

3. Les droites $(IC)$ et $(BJ)$ se coupent en un point $O$. 

Montrer que $OB = 3OJ$ puis Calculer $OB$.

Exercice N°8 extrait BFEM $2^{nd}$ Tour 2023

On considère un triangle GQH rectangle en$G$ Tel que $HG=6cm$ et $tan \overbrace{QHG} =\dfrac{4}{3}$ .

1) On pose $\tan\overbrace{QHG} = \dfrac{QG}{HG}$ , montre que $QG=8cm$ et $QH=10cm$.

2) Soit $E$ un point du segment $[QH]$ tel que $\dfrac{QE}{QH} = \dfrac{3}{5}$.

La parallèle à la droite $(GH)$ passant par $E$ coupe le segment $[QG]$ en $F$. 

Calcule $QF$.

3) On considère les points $A$ et$ B$ tels que : $A \in [FG]$ et$ FA=1,6cm ; B \in [EH] $et $EB=2cm$. 

Montre que les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont parallèles.

4) Les droites $(FH)$ et $(EG)$ sont sécantes au point $R$. 

Montre que $\dfrac{RE}{RQ} = \dfrac{3}{5}$.

Exercice N°9

Dans le plan, on considère un triangle $ABC$ rectangle en $B$ tel que : $AB = 2cm$ et $BC=1cm$.

1. Faire une figure complète puis calculer $AC$.

2. On considère le point $D$, tel que : $B$ soit un point du segment $[AD]$ et $AD= 8 cm$.

3. a) Soit $E$ le point de la droite $(AC)$ dont la projection orthogonale sur $(AB)$ est le point $D$.

b) Montrer que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

c) Calculer les distances $AE$ et $DE$.

d) Calculer l’aire de $ABC$ et le coefficient $K$ de réduction des longueurs.

En déduire l’aire de $ADE$.

Exercice N°10

1) Tracer un triangle $ABC$ tel que $AB=4cm ; AC=5cm$ et $BC=6cm$

2) Soit $M$ un point de $[BC]$ tel que $\dfrac{BM}{BC} =\dfrac{2}{3}$

Calculer $BM$ et marquer le point $M$ sur la figure

3) la parallèle à $(AC)$ passant par $M$ coupe $(AB)$ en $N$. 

Calculer $BN$ et $NM$.

4) Soit $A’$ (distinct de $B$) un point de la parallèle à $(AC)$ passant par $B$.

On appelle respectivement $M’$et $N’$ les points d’intersection de $(AA’)$ et $(A’C)$ avec la droite $(MN)$.

a) Calculer $\dfrac{AM′}{AA′}$ puis $\dfrac{A′M′}{AA′}$

b) Calculer la distance$ M’N’$.

Exercice N°11

Construire le rectangle $ABCD$ tel que : $AB = 8cm$ et $AD = 6cm$. 

On désigne par $M$ un point de $[AB]$ tel que $AM = x$.

Par $M$, on trace la parallèle à $(AC)$ qui coupe $(BC)$ en $N$ et la parallèle à $(BD)$ qui coupe $(AD)$ en $P$.

1) Calculer $AC$ puis exprimer $MN$ et $MP$ en fonction de $x$.

2) Montrer que $MN + MP$ est indépendant de $x$.

3) Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $MN = MP$.

Exercice N°12

1) Sur une droite $(xy)$, marquer les points $A, B, C$ tels que : $AB = 4cm ; BC = 3cm $et $B \in [AC]$

2) Partager $[AB]$ en cinq parties égales. 

Sur $[AB]$ marquer le point $I$ tel que $AI = \dfrac{3}{5} AB$

3) Partager $[BC]$ en $4$ parties de même longueur.

4) Sur$ [BC]$, marquer le point tel que : $BJ = \dfrac{1}{4} BC$. 

Quelle est la longueur du segment $[IJ]$.

5) Soit D un point du plan tel que $ACD$ soit un triangle isocèle en $A, B’\in[AD]$ et $(BB’)//(DC)$.

Calculer l’aire du triangle $ABB’$ sachant que l’aire de $ACD$ est : $6\sqrt{5}cm^{2}$.

Exercice N°13

1. a) Construire un triangle $ABC$ tel que : $AB = 6 cm ; BC = 8 cm ; AC = 10 cm$.

b) Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifier.

2) Sur le segment $[BC]$, on place le point $I$ tel que :$ CI =\dfrac{1}{4} CB$.

La parallèle à $(AB)$ passant par $I$ coupe $(AC)$ en $J$. 

Compléter la figure tracée en 1.a).

Calculer $CJ$ et $IJ$.

3) Sur le segment$ [CB]$, on considère maintenant le point $M$ tel que $CM = x$.

La parallèle à $(AB)$ passant par M coupe $(AC)$ en $K$.

a) Calculer $MK$ en fonction de $x$.

b) Montrer que l’aire $CMK$ est égale $\dfrac{3x^{2}}{8}$

c) Trouver la valeur de $x$ pour que l’aire du triangle $CMK$ soit la moitié de celle du triangle$ ABC$.

Exercice N°14

Alassane veut mesurer un jeune chêne avec une croix de bûcheron comme le montre le schéma ci-dessous.

Il place la croix de sorte que $O, D$ et $A$ d’une part et $O, E$ et $B$ d’autre part soient alignés. 

Il sait que $DE = 20 cm$ et $OF = 35 cm$. 

Il place $[DE]$ verticalement et $[OF]$ horizontalement. 

Il mesure au sol $BC = 7,7 m$.

1) Le triangle $ABO$ et un agrandissement du triangle $ODE$. 

Justifier que le coefficient d’agrandissement est

2) Calculer la hauteur de l’arbre en mètres.

3) Certaines croix de bûcheron sont telles que $DE = OF$. 

Quel avantage apporte ce type de croix ?

4) Alassane enroule une corde autour du tronc de l’arbre à $1,5 m$ du sol. 

Il mesure ainsi une circonférence de $138 cm$. 

Quel est le diamètre de cet arbre à cette hauteur ?

 Donner un arrondi au centimètre près.