Exercice N°1

I. Pour chacune des énoncés, une seule réponse est juste. Relève sur ta copie le numéro de l’énoncé
suivie de la réponse choisie.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
N&\text{ Enoncés}&\text{ Réponse A}&\text{ Réponse B}&\text{ Réponse C}\\\hline
1& \text{Si B est l’aire du disque de base d’un cône de}&3 × V = B × H&\dfrac{V}{3} = \dfrac{B}{H}&V = 3 × B × H\\
&\text{révolution, V et H respectivement le volume et la}&&&\\
&\text{hauteur de ce cône, alors on a :}&&&\\
\hline2&\text{ Quelle est l’aire latérale Al d’un cône de}&πgh& πr^{2}g& πrg\\
&\text{révolution de rayon de base r,de hauteur h}&&&\\
&\text{et de generatrice g ?}&&&\\
\hline3& \text{Quelle est l’aire latérale Al en cm^{2} d’un cône de}&45π &12π &15π\\
&\text{révolution de rayon de base} r = 3cm, \text{de hauteur} h =&&&\\
&4cm \text{et de generatrice g }= 5cm ?&&&\\
\hline
4& \text{Après la section parallèle à mi-hauteur d’une}&32cm^{3}& 8cm^{3}& 18cm^{3}\\&\text{pyramide régulière de volume} 64cm^{3} , \text{on obtient une}&&&\\
&\text{pyramide de volume}&&&\\
\hline
&\text{La section d’un parallélépipède rectangle}&\text{rectangle}&\text{hexagone}&\text{Triangle}\\
&\text{parallèlement à une face est un :}&&&\\
\hline
5&\text{La section d’un cône de révolution parallèlement au}&\text{Un cercle}&\text{Un disque}&\text{Un cône}\\
&\text{plan du disque de base est :}&&&\\
\hline
6& \text{une pyramide est régulière à pour volume }V=48cm^{3},&16cm& 8cm& 4cm\\
&\text{pour aire de base} B \text{et pour hauteur} h=9cm. \text{Si la base}&&&\\
&\text{est une carrée alors le côté mesure}&&&\\\hline
7& \text{Un cône de révolution dont le rayon de la base et la}&
\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi^{3}}{3}&\dfrac{1}{3}\\
&\text{hauteur sont tous égaux à l’unité a un volume égale à} :&&&\\\hline\end{array}$$

II. Réponds par vrai ou faux

a) Si on coupe un cône de révolution de hauteur $h$ et de volume $V$ par un plan parallèle à sa base de manier à obtenir une réduction de ce cône ayant pour hauteur $\dfrac{h}{2}$, alors le volume de cette réduction est $\dfrac{V}{8}$.

b) Une pyramide dont les arrêtes latérales ont la même longueur est une pyramide régulière.

Exercice N°2

Laye dispose d’un seau ayant les caractéristiques suivantes :

$\bullet$ il a la forme d’un tronc de cône dont les deux bases circulaires
sont contenues dans deux Plans parallèles ;

$\bullet$les dimensions sont les suivantes :
$AB = 10 cm ; SA = 13 cm$ et $OO’ = 8cm$.

3. Détermine la hauteur $SO$ en utilisant le triangle $SOA$ rectangle en $O$.

4. Calcule l’aire totale du cône $C_{1}$ de sommet $S$ et de base le
disque de diamètre $[AB]$.

5. Justifie que la valeur exacte du volume $V_{1}$ du cône $C_{1}$ est $V_{1} = 100 \pi cm^{3}$.

6. Le cône $C_{2}$ de sommet $S$ et de base le disque de diamètre $[A’B’]$ est une réduction du cône $C_{1}$.

c) Montre que le coefficient de réduction $k$ du cône $C_{1}$ est $k =\dfrac{1}{3}$.

d) En déduire la valeur exacte du volume $V_{2}$ du cône $C_{2}$.

e) Calcule la valeur exacte du volume $V_{3}$ du tronc de cône.

Exercice N°3

Un objet en forme de cône de révolution de rayon $7cm$ a une aire latérale égale à $308cm^{2}$

1. Montrer que sa génératrice vaut $14cm$. 

En déduire que sa hauteur est de $7\sqrt{3}cm$.

2. On sectionne l’objet parallèlement à sa base aux $2$

3. de sa hauteur à partir de son sommet pour en faire un récipient.

a. Calculer la valeur approchée du volume de l’objet au centimètre cube prés.

b. Calculer le volume du récipient.

N.B : On prendra $\pi = \dfrac{22}{7}$

Exercice N°4

Un cône de révolution de sommet $S$ et de hauteur $OS$ a pour rayon de base $R= 12cm$ et de volume $V=2411,52cm^{3}$

1) on donne : $\pi=3,14$ , calculer la hauteur $OS$.

2) On marque un point $A$ sur le cercle de base

a) Que représente la longueur du segment $[AS]$ ? 

Calculer la longueur d’une génératrice.

b) Calculer $\sin \alpha$ sachant que $\alpha$ est l’angle du cône. 

En déduire la mesure de $\alpha$ en degrés prés.

3) Calculer l’aire latérale du cône.

Une pyramide régulière $SABCD$ de sommet $S$ de hauteur $SO = 4m$ représente la charpente du toit d’un hangar. 

La longueur de l’arête $SA = \sqrt{34}m$$

1) Calcule $OA$ puis montre que le côté de la base $AB = 6m$

2) Calcule le volume de cette pyramide

Quel sera le prix d’achat des tôles nécessaires à la construction de la toiture sachant que le mètre carré de tôle coûte $3000 F$.

Exercice N°6

La bouteille de parfum de Khady a la forme d’une pyramide à base
triangulaire, de hauteur $[AS]$ tel que $ABC$ est un triangle rectangle et isocèle en $A ; AB = 7,5 cm$ et $AS = 15 cm$. (voir figure ci-contre)

2. Calcule le volume de la pyramide $SABC$ au $cm^{3}$ près

3. Pour fabriquer le bouchon SS’MN , les concepteurs ont coupé
la Pyramide par un plan $P$ parallèle à sa base et passant par le
point $S’$ tel que $SS’ = 6cm$.

a. Quelle est la nature de la section plane S’MN$ obtenue ?

b. Calcule la longueur $S′N$.

c. Calcule le volume maximal de parfum en $cm^{3}$ que peut contenir cette bouteille.

Exercice N°7

La salle de jeux d’une école maternelle est éclairée par un dôme en verre ayant la forme D’une pyramide dont la base $ABCD$ est un carré de centre $H$.

La hauteur $[SH]$ de cette pyramide mesure $1,20m$ et le côté $[AB]$ du carré mesure $1,80m$.

1) Calcule son volume.

2) Calcule le prix de verre nécessaire à la construction des faces latérales de ce dôme sachant qu’un mètre
carré de ce verre coûte $39500 F$.

Exercice N°8

Une salière est représentée par un cône de révolution de rayon $3cm$
et de hauteur $h$ en $cm$. (voire la figure ci-contre).

Le sel forme un tronc de cône de hauteur $h$ et dont le
disque de base est de rayon $r$ en $cm$.

1) Calcule son aire latérale exacte.

2) Calcule l'angle au sommet de la salière à l'unité prés.

3) Montre que $\dfrac{7−h}{7} = \dfrac{r}{3}$ .

4) Montre que la hauteur $h$ en cm, atteinte par le sel pour que la salière soit remplie la moitié de son volume, doit vérifier l'équation: $(7 − h)^{3} = 171,5$.

Exercice N°9

Soit $SABCD$ une pyramide à base carrée tel que sa hauteur $[SO]$ est de $6cm$ et  $AB$ est de $4cm$

1) Déterminer le volume et l’aire de la pyramide $SABCD$

2) On coupe la pyramide $SABCD$ à un plan parallèle à la base tel que la hauteur $50°$ de la pyramide réduite égale à $2$.

a) Déterminer le coefficient de réduction $k$.

b) Déterminer le volume et l’aire de la pyramide réduite.

c) En déduire l’aire et le volume du tronc.

Exercice N°10

Le cône $(C')$ a pour sommet$ S$ et pour base le disque de centre $H$ et de rayon $[HB]$.

Le cône $(C)$ a pour sommet $S$ et pour base le disque de centre $O$ et de rayon $[OA]$.

On a $SH = 2 cm$ et $SO = 6 cm$. 

Le cône $(C')$ est une réduction du cône $(C)$.

a. Calcule le rapport de réduction.

b. Déduis-en le rayon de la base du cône $(C)$ sachant que $HB = 1,5 cm$.

c. Calcule la longueur d'une génératrice du cône $(C)$.

d. Déduis-en la longueur d'une génératrice du cône $(C')$.

Exercice N°11 BFEM 2017

On considère la figure codée ci-dessous :

On donne les formules de calcul de volume de solides ci-dessous :

Volume d'un cône de révolution : $V_{cone} = \dfrac{1}{3} × \pi × R^{2} × h$

Volume d'une boule : $V_{boule} =\dfrac{4}{3} × \pi × R^{3}$

Volume d'un cylindre : $V_{cylindre} = $\pi × R^{2} × h$

$R$ désigne le rayon et $h$ la hauteur.

1. Calcule le volume exact de chacun de ces trois solides pour $h = R = 1 m$.

2. Exprime le volume d'une boule et $c$ lui d'un cylindre en fonction du volume d’un cône de révolution pour $R = h$.

3. Un récipient servant à recueillir de l'eau de pluie est constitué d'un cylindre de ra on $R = 50 cm$ ouvert à sa base supérieure et d'un cône de révolution situé à l'intérieur de ce cylindre.

Le cône et le cylindre ont la même hauteur et la base du cône coïncide avec la base inférieure fermée du cylindre (voir figure ci-contre).

Exprime le volume de ce récipient en fonction du volume cylindre.

Exercice N°12 BFEM 2018

La figure ci-contre représente une bougie qui a la forme d’un cône de
révolution de rayon de base $OA = 22,5 cm$ et de génératrice $AS = 37,5 cm$.

1. Montre que la hauteur $OS$ de la bougie est de $30 cm$.

2. Calcule le volume de cire nécessaire à sa confection.

3. Calcule l'aire de la surface minimale de papier nécessaire pour
l'envelopper entièrement.

4. La bougie se consume en diminuant de $101,25 cm^{3}$ de son volume chaque  minute.

Au bout de combien de temps sera-t-elle entièrement consumée ?

5. Soit $K$ le coefficient de réduction du cône réduit représentant la partie consumée de la bougie, $V$ le volume du cône initial qui représente la bougie et $V'$ le volume de la partie restante de la bougie de hauteur $h cm$.

5.1. Montre que $v′ = (1 − k^{3})v$

5.2. Montre que $k = \dfrac{30−h}{30}$

5.3. Calcule la hauteur de la partie restante de la bougie au bout d'une heure d'éclairage.

On donne $\pi \approx 3, 14 ;\dfrac{9821,25}{15896} \approx 0, 6$ et $(0, 7)^{2} \approx 0, 4$

Exercice N°13 BFEM 2019

1. Le schéma ci-contre représente le patron de la partie latérale d’un cône de révolution.

Justifie que le rayon $r$ de la base du cône vaut $r = R × \left(1 − \dfrac{alpha}{360°}\right)$

2. Démontre que la hauteur $h$ du cône vaut : $h = R \times \sqrt{\left(1 − \dfrac{alpha}{360°}\right)^{2}}$

3. Exprime l’aire du cône en fonction de $R$ et $\alpha$

4. On pose $\alpha= 270° ,R = 50cm$ et $\pi = 3,14$

Calcule l’aire latérale du cône.

Exercice N°14 BFEM 2021

1. Le dessin ci-contre est une représentation en perspective cavalière d’un solide.

a) Indique le nom du solide qu’il représente.

b) Que représente le segment $[SO]$ pour ce solide ?

c) Que représente le segment $[SA]$ pour ce solide ?

d) Que représente le disque de rayon $[AO]$ pour ce solide ?

e) L’expression $π \times OA \times SA$ est l’aire d’une partie de ce solide. Laquelle ?

2. On donne $\alpha= 30°$ et $OA = 6u$, où $u$ est une unité de mesure de longueur

a) Justifie que le segment $[SA]$ mesure $12u$.

b) Justifie que le segment $[SO]$ mesure $6\sqrt{3}u$.

c) Calcule l’aire de la surface totale de ce solide en fonction de $u$.

d) Calcule le volume de ce solide en fonction de $u$.

4. Pour fabriquer un récipient qui doit contenir des sachets de jus de fruit de $30 cl$, un groupement d’intérêt économique (GIE) dispose d’un solide en matière plastique ayant la forme du solide représenté
ci-dessus avec $OA = 6 dm$ et $\alpha= 30°$

On sectionne ce solide par un plan parallèle au plan de base situé à $4\sqrt{3} dm$ à partir du point $O$ pour obtenir une bassine en forme de tronc de cône. 

Détermine le nombre maximal de sachets que ce récipient pourrait
contenir. NB : on rappelle que $1l = 1dm^{3}$

Exercice N°15 BFEM 2009
 
$SABCD$ est une pyramide régulière dont la base est un carré de $240 cm$ de côté.

1) On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base. 

Le tronc de pyramide obtenu (la partie différente de la réduction) est un récipient de $30 cm$ de profondeur et dont l’ouverture est un carré de $80 cm$ de côté.

a) Montre que la hauteur de la pyramide initiale $SABCD$ est de $45 cm$ et que celle de la pyramide réduite est $15 cm$.

b) Calcule le volume de ce récipient.

2) Les faces latérales de ce récipient sont des trapèzes de mêmes dimensions.

a) Montre que la hauteur de ces trapèzes est $10\sqrt{73}cm$.

b) Calcule l’aire latérale de ce récipient.

Exercice N°16 BFEM 2010

Le schéma ci-contre représente le patron d’un cône de révolution de sommet $S$, de rayon de base $r$.

La génératrice $[SA]$ a pour longueur $36 cm$.

1°) Justifie que la circonférence de sa base mesure $54π cm$.

2°) Montre que son rayon, de base $r$ vaut $27 cm$.

3°) Justifie que la hauteur de ce cône est égale à $9\sqrt{7}cm$.

4°) Calcule l’aire de la surface totale de ce cône. 

On prendra $π = 3,14$.

Exercice N°17 BFEM 2004

La figure ci – dessous représente le patron de la partie latérale d’un cône de révolution.

1. Montrer que le rayon de sa base est $4 cm$ et que sa hauteur
h mesure :$h = 2\sqrt{5}cm$

2. Calculer son volume.

Exercice N° 18

La figure ci-dessus $A’ B’ C’D’ A B C D$ représente un emballage
d’un jus d’orange.

On donne : $OC = 6 cm, O’C’ = 4,5 cm$ et $OO’ = 12 cm$.

1. Calcule le coefficient de réduction $k$.

2. Calcule la hauteur $SO$ puis Calcule l’arête $SC$.

4. $ABCD$ est un carré de côté $4cm$. 

Calcule l’apothème $SH$ puis Calcule l’aire latérale.

5. Calcule le volume de jus d’orange que peut contenir cet
emballage.

6. Sachant qu’on dispose de $1 000 000 cm^{3}$ de jus d’orange
dans un réservoir, combien d’emballages de jus peut-on
remplir ? Quel est le volume de jus restant ?