Composition mathématique - 1er L' - L2

Exercice  1

Samba et Ngor sont deux bergers. 

Samba le peul dit à son cousin sérère Ngor :

« Si tu me donnes un mouton, j'aurai le double de ce que tu as ; mais si je te donne un mouton, nous aurons le même nombre »

Trouve le nombre de moutons de chacun

Exercice 2

1. Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}^{2}$ le système 

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+2&\leq& 0\\ x-y+1&>&0 \end{array}\right.$$

2. En utilisant le pivot de Gauss, résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$, le système 

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&1\\ x+y+2z&=&0\\ 2x+2y+3z&=&1 \end{array}\right.$$

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl}-x+y&=&8\\ 2x+y&=&-1 \end{array}\right.$

2. Soient $a$ et $b$ deux réels ; $P$ le polynôme défini par $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+4x-4$

Déterminer les réels $a$ et $b$ sachant que $-1$ et $2$ sont des racines de $P(x)$

3. En déduire une factorisation de $P(x)$

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $P(x)\leq 0$

Exercice 4 

Pour chacune des fonctions numériques suivantes, déterminer l'ensemble de définition puis étudier la parité

a. $f(x)=\dfrac{1}{|x|+1}$ ; 

b. $g(x)=x^{2}+x$ ; 

c. $h(x)=x^{3}-x$ ; 

i. $(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$

Exercice 5

Calculer

1. $\lim\limits_{x\longrightarrow -1}\left(x^{2}-x+2\right)$

2. $\lim\limits_{x\longrightarrow 1}\dfrac{x^{2}-3x+2}{x-1}$

3. $\lim\limits_{x\longrightarrow 2\\_{x<2}}\dfrac{x+1}{x-2}$

4. $\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}\dfrac{x^{2}+3x+1}{x+3}$

5. $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}\dfrac{x^{2}+3x+1}{x+3}$

6. $\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}\dfrac{2x^{2}-x+5}{x^{2}+1}$

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