On considère l'équation \((E): (m + 1)x^2 + 2mx + m - 5 = 0\).
1. Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel \(m\), l'existence et le signe des racines de \((E)\). $(1~\text{pt})$
2. Déterminer \(m\) pour que \((E)\) ait deux racines \(x'\) et \(x''\) vérifiant \(-1 < x' < 1 < x''\). $(0.75~\text{pt})$
ABC est un triangle du plan tel que : AB = 4cm , AC = 5cm et \(\cos ((\widehat{A})=\frac{3}{5}\).
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
a. \(\sqrt{2x^{2} - 3x - 2} = 2x^{2} - 3x - 1 \) $(1~\text{pt})$
b. \(\sqrt{x^{2} - 3x + 2} \geq x + 3 \) $(1~\text{pt})$
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) suivant les valeurs de \(m\) :
\[
(m^{2} - 1)(-2x^{2} + 3x - 1) < 0 \\ (1~\text{pt})
\]
On donne le polynôme $f_{m}$ défini par : $f_{m}=x^{2}+2(m-1)x+m^{2}-1$ où $m$ est un
paramètre réel.
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f_{m}(x)=0$
2. On suppose que $m<1$
Soit $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines de $f_{m}(x)$ avec $x_{1}<x_{2}$
Étudier la position de $-m$ par rapport à $x_{1}$ et $x_{2}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes
a. $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=5$
b. $\sqrt{x^{2}+3x+6}-3x=x^{2}+4$
c. $\sqrt{x^{2}-1}\leq 2x+3$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$
le système suivant par la méthode du pivot de GAUSS :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} |x|5(y-2)-\dfrac{14}{x}&=&3\\ 5|x|+3(y-2)+\dfrac{2}{x}&=&3\\
3|x|+(y-2)-\dfrac{4}{x}&=&-1 \end{array}\right.$
Cet exercice est composé de parties $A$, $B$ et $C$ dans une large mesure indépendantes.
Partie A :
On définit par $A$ l'ensemble des fonctions $f\ :\ [0\;,1]\rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant les conditions suivantes :
A. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes
a. $-2x+1=\sqrt{x^{2}+5}$
b. $x+1>\sqrt{x(x-1)}$
B. Soit $P(x)=ax^{4}+bx^{3}-4x^{2}-3x+c$
1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ sachant que
$P(x)$ est divisible par $(x+1)(x+2)(x-1)$
2. En admettant que $a=2$ ; $b=3$ et $c=2$ donner une factorisation complète de $P(x)$ puis résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P\left(x^{2}-1\right)=0$
Pour chaque item, choisis la bonne réponse.
Une bonne réponse rapporte $1$ points
1. On considère le polynôme $P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6$
a. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$
b. En déduire les solutions de l'équation :
$\left(\sqrt{x+1}\right)^{3}-6\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}+11\sqrt{x+1}-6=0$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système suivant : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y&=&1\\ -x+3y&=&1
\end{array}\right.$
2. Résoudre par le méthode du pivot de Gauss le système suivant :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+2z&=&5\\ 2x+2y-z&=&3\\ -x+3y+z&=&8 \end{array}\right.$