Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
a. $f(x)=\sqrt{\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}}$
b. $f(x)=\sqrt{x+2-\sqrt{x^{2}-3x+1}}$
c. $f(x)=\dfrac{\sqrt{3x^{2}+1}+5x}{3x-1}$
d. $f(x)=\dfrac{\sqrt{3x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}+1}}$
e. $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x^{2}-3x+1}}{2x+\sqrt{4x^{2}+x}}$
On considère une application $f\ :\ [4\ ;\ +\infty[\rightarrow\mathbb{R}^{+}\\ x\mapsto x\left(\sqrt{x}-2\right)^{2}$
1. Montrer que $\forall x\ ;\ y\in[4\ ;\ +\infty[\;,f(x)=f(y)\Rightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^{2}=\left(\sqrt{y}-1\right)^{2}$
2. Démontrer que $f$ est injective
3. Démontrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
Soit $P$ et $q$ sont deux fonctions définis pour tout réel $x$ non par :
$P(x)=x^{6}-5x^{5}+4x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-5x+1$
$q(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{3}-5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+7$
1. Montrer que $\dfrac{q(x)}{p(x)}=\dfrac{1}{x^{3}}$
Soit $\rho(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a$ avec $ab$ et $c$ trois réels non nuls.
1. Montrer que $O$ n'est pas racine de $\rho(x)$
2. Montrer que si $a$ est le racine alors $\dfrac{1}{a}$ l'est aussi
3. Soit $x\neq O$ on pose $y=x+\dfrac{1}{x}$
On considère l'équation $(E)$ : $(m+1)x^{2}+2mx+m-5=0$
1. Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel $m$, l'existence et le signe des racines de $(E)$
2. Déterminer $m$ pour que $(E)$ ait deux racines $x'$ et $x''$ vérifiant $-1<x'<1<x''$
3. Trouver une relation indépendante de $m$ entre les racines de $(E)$
$ABC$ est un triangle du plan tel que : $AB=4\,cm$, $AB=4\,cm$, $AC=5\,cm$ et $\cos\left(\overbrace{A}\right)=\dfrac{3}{5}$
1. Construire le triangle $ABC$ sans chercher une valeur approché de l'angle $\overbrace{BAC}$ et expliquer le méthode utilisée
2. $A'$ est le milieu de $[BC]$ et $I$ est le barycentre des points pondérés $(A\;,2)$, $(B\;,-1)$ et $(C\;,1)$
Soit l'équation $(E)$ $(m+3)x^{2}-(3m+1)x+2m-1=0\;,m\in\mathbb{R}$
1. Discuter suivant les valeurs de $m$ l'existence et le signe des racines de $(E)$
2. Trouver tous les réels $m$ pour que notant $x_{1}$ et $x_{2}$ $\left(x_{1}< x_{2}\right)$
a. $x_{1}< -1< x_{2}$
b. $x_{1}< x_{2}< 0$
1. Soit $h$ la fonction définie par
$h\ :\ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\\ x\rightarrow (hx)=\dfrac{5+4x^{2}}{x^{2}+1}$
a; Montrer que $h$ est une application.
b. $h$ est-elle injective ? Justifier votre réponse.
c. $h$ est-elle surjective ? Justifier votre réponse.
2. Soit
Soient $A$, $B$ et $C$ trois éléments donnés de $\mathcal{P}_{E}$
1. A quelle condition peut-on trouver des éléments $X$ de $\mathbb{P}_{E}$ tels que $A=B\cap X$ ?
2. A quelle condition peut-on trouver des éléments $Y$ de $\mathcal{P}_{E}$ tels que $A=B\cup Y$ ?
3. Montrer qu'il n'existe pas d'éléments $X$ ni d'éléments $Y$ de $\mathbb{P}_{E}$ tel que $A=B\cup X=E$ ou $A\cap Y=\theta$ ?
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes
1. $\sqrt{5x-1}+\sqrt{3-x}=2+\sqrt{2}$
2. $3x^{2}+4x+\sqrt{3x^{2}+4x+5}=7(\text{ on pourra poser }X=3x^{2}+4x)$
3. $\sqrt{4x^{2}-mx+1}=2x-m$
4. $\sqrt{x^{2}+2x+1}<2x+1$