Composition Harmonises du 1er semestre 1S1 - 2024-2025

Épreuve mathématique

Exercice 1 :

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ équation et inéquation

suivantes :

a. $\sqrt{4x^{2}-2x-2}=\sqrt{2x^{2}+x-1}$

b. $3-\sqrt{5x^{2}+6x+1}\geq -x$

c. $\sqrt{-5x^{2}+3x+2}=5x-1$

d. $\sqrt{5x+1}-\sqrt{x+1}=2$

2. On considère le polynôme $P|x|=x^{2}+6x^{2}-5x+1$

a. Montrer que $0$ n'est pas racine de $P(x)$

b. Montrer que pour tout $x\neq 0\dfrac{P(x)}{x}^{2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}-5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+4$

c. En déduire les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $P(x)=0$

d. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $P(x)\geq 0$

Exercice 2

I. Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ unité $2\,cm$

Soit $u$ et $v$ deux fonctions de courbes représentatives $(Cu)$ et $(Cv)$

$a$ et $b$ deux réels tels que : $u(x)=v(x-a)+b$

1. Par quelle transformation passe-t-on de $(Cu)$ )  à $C u$

2. Soit $u(x)=\dfrac{-x-1}{x+2}$

Déterminer la fonction $v$ telle que $u(x)=v(x+2)-1$

3. Construire $Cv$ puis en déduire le tracé de $Cu$

dans le repère précédent

II. Soit la fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ par $f(x)=3+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

1. Justifie que $f$ est une application

2.a. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$

b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus

3.a. Déterminer l'image directe de l'intervalle $[-2\ ;\ -1]$ par $f$

b. Déterminer l'image réciproque de l'intervalle $[2\ ;\ 3]$ par $f$

4. Montrer que $f$ est bijective de $\mathbb{R}$

vers un intervalle $J$ à à déterminer

5. Définir $f^{-1}$

III. Soit $g$ la fonction définie par $\left\lbrace\begin{array}{rcl} g(x)&=&f(x)\text{ si }x\in [-2\ ;\ 0]\\
g(x)&=&\dfrac{2x+b}{1+x}\text{ si }x>0 \end{array}\right.$

1. Déterminer l'ensemble de définition de $g$

2.Déterminer le réel $b$ pour que $g$ soit continue en $0$

Exercice 3:

On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui à tout $M\rightarrow\,f(M)$ ; $A$ et $B$ deux ponts du plan et $k\in\mathbb{R}$

1. Quel est l'ensemble des points $M$ du plan tel que :

a. $f(M)=k$ si $f(M)=\vec{u}\cdot \overrightarrow{AM}$

b. $f(M)=4$ si $f(M)=¿\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$

2. donne $AB=4.$

On note $\left(L_{k_{1}}\right)$ et $\left(C_{k_{2}}\right)$ les ensembles respectifs des points $M$ du plan tels que

a. $MA^{2}-MB^{2}=¿k_{1}$

b. $MA^{2}+MB^{2}=k_{2}$ avec $k_{i}$ réel

Déterminer le réel $k$ pour les ensembles $\left(L_{k_{1}}\right)$ et $\left(C_{k_{2}}\right)$ passent par le point $B.$

Exercice 4

On considère le triangle $ABD$ et $C$ un point du demi-plan de frontière $(BD)$ ne contenant pas le point $A.$

On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[CD]$

1.a. Soit $G_{1}$ le barycentre du système de ponts pondérés $[(A\;,1)\ ;\ (B\;,1)\ ;\ (D\ ;\ 2)]$

$G_{2}$ est le milieu du segment $[ID]$

Placer $G_{2}$

c. Démontrer que $IG_{1}DJ$ est un parallélogramme.

En déduire la position du plan $G_{2}$ par rapport aux points $G_{1}$ et $J$

2. Soit $m$ un réel.

Préciser l'ensemble $(E)$ des valeurs de $m$ pour lesquelles le système $[(A\;,1)\ ;\ )(C\;,m-2)(D\ ;\ m)]$ admet un barycentre.

On notera $G_{m}$ ce barycentre

3. Dans la suite, on suppose que le réel $m$ appartient à l'ensemble $(E)$

a. Justifier que $G_{m}$ est le barycentre de $$[(I\;,2)\ ;\ (C\;,m-2)(D\ ;\ m)]$

b. Démontrer que le vecteur $mJ\overrightarrow{G}_{m}$ est constant.

c. En déduire l'ensemble $(F)$ des points $G_{m}$ lorsque $m$ décrit $(E)$