$ABC$ est un triangle du plan tel que : $AB=4\,cm$, $AB=4\,cm$, $AC=5\,cm$ et $\cos\left(\overbrace{A}\right)=\dfrac{3}{5}$
1. Construire le triangle $ABC$ sans chercher une valeur approché de l'angle $\overbrace{BAC}$ et expliquer le méthode utilisée
2. $A'$ est le milieu de $[BC]$ et $I$ est le barycentre des points pondérés $(A\;,2)$, $(B\;,-1)$ et $(C\;,1)$
1. Résoudre dans $ℝ$ :
a. $\sqrt{2x^{2} − 3x − 2} = 2x^{2} − 3x − 1 $
b. $\sqrt{x^{2} − 3x + 2} ≥ x + 3$
2. Résoudre dans $ℝ$ suivant les valeurs de $m: (m^{2} − 1)(−2x^{2} + 3x − 1) < 0$
On considère l’équation $(E) : (m + 1)x^{2} + 2mx + m − 5 = 0$.
1) Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel $m$, l’existence et le signe des racines de $(E)$.
2) Déterminer m pour que $(E)$ ait deux racines $x^{'}$ et $x^{''}$ vérifiant $−1 < x^{'} < 1 < x^{''}$.
3) Trouver une relation indépendante de $m$ entre les racines de $(E)$.
4) Former l’équation du second degré ayant pour racines $(3x^{'} − 2)$ et $(3x^{''} − 2)$.
Soit $p$ et $q$ sont deux fonctions définis pour tout réel $x$ non nul par :
$p(x) = x^{6} − 5x^{5} + 4x^{4} − 3x^{3} + 4x^{2} − 5x + 1$
$q(x) = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{3}
+ 5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2} +\left(x+\dfrac{1}{x}\right) + 7$
1. Montrer que $\dfrac{q(x)}{p(x)}=\dfrac{1}{x^{3}}$ .
2. Montrer que les équations $p(x) = 0$ et $q(x) = 0$ sont équivalentes et déterminer leurs solutions communes
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante : $\sqrt{2x + 1} = x + 1$
2· Résoudre dans $R^{3}$ le système suivant :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl}:
x + y + z &=& −19\\
16x − 8y − 2z &=& −58\\
x − y − z &=& 11
\end{array}\right.$$
On considère l’application $$\begin{array}{rcl}
f : \mathbb{R} &→&\mathbb{R}\\
. x &→ &x^{2} − 4x + 5\end{array}$$
1. a. Montrer que $∀x ∈ \mathbb{R} : f(2 − x) = f(2 + x)$.
b. L’application $f$ est-elle injective?
Justifier.
2. a. Montrer que $∀x ∈ \mathbb{R} : f(x) ≥ 1$.
b. L’application $f$ est-elle surjective?
justifier.
Soient $A$ et $B$ deux points d’une droite$ ( \Delta ), a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $0<\alpha<b$
1. Démontrer qu’il existe deux points $C$ et $D$ tels que $C$ soit le barycentre des points
${(A a), (B,b )}$ et $D$ soit le barycentre des points des points ${(A a), (B,-b )}$ .
2. Préciser la position de ces points par rapport aux points $A$ et $B$ .
3. La droite $(\Delta )$ est muni d’un repère $( A , B )$ .
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations irrationnelles suivantes.
a. $\sqrt{-4x^{2}+x+5}=|2x+2|$
b. $\sqrt{1-2x}\geq 2x+11$
c. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$
d. $2x^{2}+x+2\sqrt{2x^{2}+x-3}=6$
2.a. Déterminer le polynôme $P$ de degré $3$ tel que $P(O)=O$ et pour tout réel $x$, $P(x)-P(x-1)=x^{2}$
Soit $a, b$ et $c$ trois réels et $P (x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ un polynôme.
On suppose que $P (x)$ admet trois racines $α ,β$ et $γ$.
1. a) Développer $(α + β + γ)²$ et $(αβ + βγ + γα)² $
b) Déterminer en fonction de $x, a, b$ et $c$,le polynôme unitaire $Q(x)$ ayant pour racines $α^{2},
β^{2}$ et γ²$.
2. a) Montrer que le polynôme $Q (x²)$ peut s’écrire sous la forme :
$Q (x²) = P(x) ×R(x)$ où $R (x)$ à déterminer.
On considère la fonction numérique définie par : $f(x) = \dfrac{\sin x − \cos x}{\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x}$
1. (a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation :$\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x = 0 $
(b) Déduire $D_{f} $
2. Montrer que pour tout $x \in D_{f} , f(x) = \dfrac{\tan x − 1}{2\sin x −\sqrt{2}}$
(a) Résoudre dans $[0; 2\pi]$ l’équation $f(x) = 0$